Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.5 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основанием прямой призмы $$ABCA_1B_1C_1$$ является прямоугольный треугольник $$ABC$$ с гипотенузой $$AC$$. Найдите тангенс угла между плоскостью $$A_1B_1C_1$$ и плоскостью, проходящей через середину ребра $$AA_1$$ и прямую $$BC$$, если $$AB=4$$, $$BB_1=12$$.

В призме $$ABCA_1B_1C_1$$ плоскость $$A_1B_1C_1$$ параллельна плоскости основания $$ABC$$. Поэтому угол между плоскостью $$A_1B_1C_1$$ и плоскостью, проходящей через середину ребра $$AA_1$$ и прямую $$BC$$, равен углу между основанием и этой плоскостью.

Обозначим через $$D$$ середину ребра $$AA_1$$. Тогда $$AD=\dfrac{AA_1}{2}$$. Так как призма прямая, то $$AA_1 \perp AB$$ и $$AA_1 \perp BC$$, следовательно, $$AD \perp AB$$ и $$BC \perp AB$$.

Значит, искомый угол равен $$\angle DBA$$, а в прямоугольном треугольнике $$ABD$$

$$\tan \angle DBA=\frac{AD}{AB}.$$

По условию $$BB_1=12$$, значит $$AA_1=12$$, откуда

$$AD=\frac{AA_1}{2}=\frac{12}{2}=6.$$

Тогда

$$\tan \angle DBA=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1{,}5.$$

Ответ: $$1{,}5$$.