Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.5 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н. Известно, что СН=АВ. Найдите угол АСВ.

Рассмотрим треугольники $$ABE$$ и $$CHE$$.

Так как $$BE \perp AC$$ и $$AF \perp BC$$, то точки $$E$$ и $$F$$ — основания высот, а точка $$H$$ — ортоцентр треугольника $$ABC$$. Поэтому

$$\angle CEH=\angle EBA,$$

$$\angle CHE=\angle BHD,$$

$$\angle CEH=\angle AEB=90^\circ.$$

Кроме того, по условию $$CH=AB$$. Значит, прямоугольные треугольники $$ABE$$ и $$CHE$$ равны по гипотенузе и острому углу, откуда

$$EH=AE.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AEH$$. В нём катеты равны, значит он равнобедренный, и

$$\angle HAE=45^\circ.$$

Так как $$AH \perp BC$$, а точка $$F$$ лежит на $$BC$$, то в треугольнике $$ACF$$ угол при вершине $$C$$ дополняет угол $$HAC$$ до прямого:

$$\angle ACB=90^\circ-\angle HAC=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Ответ

$$45^\circ$$