Упр.499 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Высота конуса равна $$12\ \text{см}$$, а его объём равен $$324\pi\ \text{см}^3$$. Найдите угол сектора, который получится, если боковую поверхность конуса развернуть на плоскость.

Объём конуса выражается формулой

$$V=\frac{1}{3}\pi r^2h.$$

Подставим данные:

$$324\pi=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot 12.$$

Отсюда

$$r^2=\frac{3\cdot 324\pi}{\pi\cdot 12}=81,\qquad r=9\text{ см}.$$

Найдём образующую конуса:

$$l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=15\text{ см}.$$

При развертке боковой поверхности конуса получается сектор радиуса $$l$$, длина дуги которого равна длине окружности основания:

$$\frac{\varphi}{360^\circ}\cdot 2\pi l=2\pi r.$$

Следовательно,

$$\varphi=\frac{360^\circ\cdot r}{l}=\frac{360^\circ\cdot 9}{15}=216^\circ.$$

Ответ: $$216^\circ$$.