Упр.499 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Высота конуса равна 12 см, а его объем равен 324л см3. Найдите угол сектора, который получится, если боковую поверхность конуса развернуть на плоскость.

Объём конуса выражается формулой

$$V=\frac{1}{3}\pi r^2h.$$

Подставим данные:

$$324\pi=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot 12.$$

Отсюда

$$324=\;4r^2,$$

$$r^2=81,\qquad r=9\text{ см}.$$

Найдём образующую конуса $$l$$ по теореме Пифагора:

$$l^2=h^2+r^2=12^2+9^2=144+81=225,$$

$$l=15\text{ см}.$$

При развертке боковой поверхности конуса получается сектор радиуса $$l$$, длина дуги которого равна длине окружности основания:

$$\frac{\varphi}{360^\circ}\cdot 2\pi l=2\pi r.$$

Тогда

$$\varphi=\frac{360^\circ\cdot r}{l}=\frac{360^\circ\cdot 9}{15}=216^\circ.$$

Ответ

$$216^\circ$$