Упр.496 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите объем конуса, если площадь его основания равна Q, а площадь боковой поверхности равна Р.

Обозначим радиус основания конуса через $$r$$, высоту — через $$h$$, образующую — через $$l$$.

Тогда площадь основания равна

$$\pi r^2=Q,$$

откуда

$$r^2=\frac{Q}{\pi}.$$

Площадь боковой поверхности конуса:

$$\pi r l=P,$$

значит

$$l=\frac{P}{\pi r}=\frac{P}{\sqrt{Q\pi}}.$$

По теореме Пифагора для осевого сечения конуса:

$$h^2+r^2=l^2,$$

следовательно,

$$h=\sqrt{l^2-r^2}.$$

Подставим найденные выражения:

$$ h=\sqrt{\frac{P^2}{Q\pi}-\frac{Q}{\pi}} =\sqrt{\frac{P^2-Q^2}{Q\pi}}. $$

Теперь найдём объём конуса:

$$ V=\frac{1}{3}\pi r^2 h =\frac{1}{3}\cdot Q \cdot \sqrt{\frac{P^2-Q^2}{Q\pi}} =\frac{\sqrt{Q(P^2-Q^2)}}{3\sqrt{\pi}}. $$

Ответ

$$V=\frac{\sqrt{Q(P^2-Q^2)}}{3\sqrt{\pi}}.$$