Упр.496 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите объем конуса, если площадь его основания равна $$Q$$, а площадь боковой поверхности равна $$Р$$.

Пусть $$r$$ — радиус основания конуса, $$l$$ — образующая, $$h$$ — высота.

Тогда

$$Q=\pi r^2,$$

$$P=\pi r l,$$

а объём конуса равен

$$V=\frac13\pi r^2h=\frac13Qh.$$

Из формулы площади основания получаем

$$r=\sqrt{\frac{Q}{\pi}}.$$

Из формулы площади боковой поверхности

$$l=\frac{P}{\pi r}=\frac{P}{\sqrt{\pi Q}}.$$

По теореме Пифагора для осевого сечения конуса:

$$h^2+r^2=l^2,$$

значит

$$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{\frac{P^2}{\pi Q}-\frac{Q}{\pi}}=\sqrt{\frac{P^2-Q^2}{\pi Q}}.$$

Тогда

$$V=\frac13Q\sqrt{\frac{P^2-Q^2}{\pi Q}}=\frac13\sqrt{\frac{Q\left(P^2-Q^2\right)}{\pi}}.$$

Ответ: $$V=\frac13\sqrt{\frac{Q\left(P^2-Q^2\right)}{\pi}}.$$