Упр.493 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны оснований равны 6 см и 4 см, а площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, равна 15 см2. Найдите объем усеченной пирамиды.

Подробный ответ

Пусть дана правильная усечённая четырёхугольная пирамида с основаниями-квадратами со сторонами $$6$$ см и $$4$$ см.

Тогда диагонали оснований равны:

$$BD=6\sqrt{2}, \qquad B_1D_1=4\sqrt{2}.$$

Сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, — трапеция. Её основания равны диагоналям оснований пирамиды, а высота равна расстоянию между основаниями пирамиды, то есть высоте усечённой пирамиды $$h$$.

По формуле площади трапеции:

$$15=\frac{BD+B_1D_1}{2}\cdot h=\frac{6\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}\cdot h=5\sqrt{2}\,h.$$

Отсюда

$$h=\frac{15}{5\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$$

Теперь найдём объём усечённой пирамиды:

$$V=\frac{h}{3}\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2}\right),$$

где

$$S_1=6^2=36,\qquad S_2=4^2=16.$$

Тогда

$$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}\left(36+16+\sqrt{36\cdot 16}\right).$$

$$V=\frac{\sqrt{2}}{2}(36+16+24)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 76=38\sqrt{2}.$$