Упр.493 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде стороны оснований равны $$6\text{ см}$$ и $$4\text{ см}$$, а площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, равна $$15\text{ см}^2$$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$ — правильная усечённая четырёхугольная пирамида. Тогда основания — квадраты со сторонами $$6$$ см и $$4$$ см.

Найдём площади оснований:

$$S_{ABCD}=6^2=36,\qquad S_{A_1B_1C_1D_1}=4^2=16.$$

Плоскость сечения проходит через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, поэтому сечение $$BDD_1B_1$$ — трапеция. Её основания равны диагоналям квадратов:

$$BD=6\sqrt{2},\qquad B_1D_1=4\sqrt{2}.$$

Площадь трапеции равна

$$S_{BDD_1B_1}=\frac{BD+B_1D_1}{2}\cdot OO_1,$$

где $$OO_1$$ — высота усечённой пирамиды. Тогда

$$15=\frac{6\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}\cdot OO_1=5\sqrt{2}\cdot OO_1,$$

$$OO_1=\frac{15}{5\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$$

Теперь найдём объём усечённой пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}h\left(S_{ABCD}+S_{A_1B_1C_1D_1}+\sqrt{S_{ABCD}\cdot S_{A_1B_1C_1D_1}}\right),$$

где $$h=OO_1$$. Подставим значения:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}\left(36+16+\sqrt{36\cdot 16}\right).$$

$$\sqrt{36\cdot 16}=24,\qquad 36+16+24=76,$$

$$V=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 76=38\sqrt{2}.$$