Упр.492 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, катеты которого равны $$24\ \text{дм}$$ и $$18\ \text{дм}$$. Каждое боковое ребро равно $$25\ \text{дм}$$. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной плоскости основания и делящей боковое ребро пополам. Найдите объём полученной усечённой пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $$S_{ABC}$$ — площадь основания пирамиды, а $$H$$ — проекция вершины $$D$$ на плоскость основания.

Так как плоскость сечения параллельна основанию и проходит через середину бокового ребра, то отсечённая у вершины пирамида подобна исходной с коэффициентом $$\frac12$$. Тогда её объём составляет $$\left(\frac12\right)^3=\frac18$$ объёма всей пирамиды, а объём усечённой пирамиды равен

$$V_{\text{усеч.}}=V_{\text{пир.}}-\frac18V_{\text{пир.}}=\frac78V_{\text{пир.}}.$$

Найдём объём исходной пирамиды.

Основание $$ABC$$ — прямоугольный треугольник с катетами $$24$$ дм и $$18$$ дм, значит

$$S_{ABC}=\frac12\cdot 24\cdot 18=216\ \text{дм}^2.$$

Найдём высоту пирамиды $$DH$$. Сначала вычислим гипотенузу основания:

$$AB=\sqrt{24^2+18^2}=\sqrt{576+324}=\sqrt{900}=30\ \text{дм}.$$

Так как $$DA=DB=DC=25$$ дм, то вершина $$D$$ равноудалена от точек $$A,B,C$$. Следовательно, её проекция $$H$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы, значит

$$AH=BH=CH=\frac{AB}{2}=15\ \text{дм}.$$

Из прямоугольного треугольника $$DHA$$:

$$DH=\sqrt{DA^2-AH^2}=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{625-225}=\sqrt{400}=20\ \text{дм}.$$

Тогда объём всей пирамиды:

$$V_{\text{пир.}}=\frac13 S_{ABC}\cdot DH=\frac13\cdot 216\cdot 20=1440\ \text{дм}^3.$$

Следовательно, объём усечённой пирамиды равен

$$V_{\text{усеч.}}=\frac78\cdot 1440=1260\ \text{дм}^3.$$