Упр.491 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основания усеченной пирамиды — равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны $$m$$ и $$n$$ ($$m>n$$). Две боковые грани, содержащие катеты, перпендикулярны к основанию, а третья составляет с ним угол $$\varphi$$. Найдите объем усеченной пирамиды.

Достроим усечённую пирамиду до полной пирамиды $$ABCD$$.

Тогда

$$V_{ABCA_1B_1C_1}=V_{ABCD}-V_{A_1B_1C_1D}.$$

Так как $$BCD\perp ABC$$ и $$ABD\perp ABC,$$ то $$BD\perp ABC,$$ значит, $$BD$$ — высота пирамиды $$ABCD$$.

В основании $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ — равнобедренные прямоугольные треугольники, поэтому

$$AC=\frac{m}{\sqrt2},\qquad A_1C_1=\frac{n}{\sqrt2}.$$

Пусть $$H$$ — основание высоты из точки $$B$$ на прямую $$AC$$. Тогда в равнобедренном прямоугольном треугольнике $$ABC$$

$$BH=HC=\frac{AC}{2}=\frac{m}{2\sqrt2}.$$

Из прямоугольного треугольника $$DBH$$ получаем

$$DB=BH\cdot\tan\varphi=\frac{m}{2\sqrt2}\tan\varphi.$$

Площадь основания полной пирамиды:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BC=\frac12\cdot \frac{m}{\sqrt2}\cdot \frac{m}{\sqrt2}=\frac{m^2}{4}.$$

Тогда

$$V_{ABCD}=\frac13 S_{ABC}\cdot DB=\frac13\cdot \frac{m^2}{4}\cdot \frac{m}{2\sqrt2}\tan\varphi.$$

Аналогично для малой пирамиды

$$V_{A_1B_1C_1D}=\frac{n^3}{24}\tan\varphi.$$

Следовательно,

$$V_{ABCA_1B_1C_1}=V_{ABCD}-V_{A_1B_1C_1D}=\frac{m^3-n^3}{24}\tan\varphi.$$

Ответ: $$\frac{m^3-n^3}{24}\tan\varphi$$.