Упр.490 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны а и 0,5a, апофема боковой грани равна a. Найдите объем усеченной пирамиды.

Подробный ответ

Достроим усечённую правильную треугольную пирамиду до полной пирамиды. Пусть её объём равен $$V_{ABCD}$$, а объём отсечённой верхней пирамиды — $$V_{A_1B_1C_1D}$$.

Так как стороны оснований относятся как $$a : \frac{a}{2} = 2:1,$$ то коэффициент подобия верхней и полной пирамид равен $$\frac{1}{2}$$. Следовательно, их объёмы относятся как куб коэффициента подобия:

$$V_{A_1B_1C_1D}=\left(\frac{1}{2}\right)^3V_{ABCD}=\frac{1}{8}V_{ABCD}.$$

Тогда объём усечённой пирамиды:

$$V=V_{ABCD}-V_{A_1B_1C_1D}=\frac{7}{8}V_{ABCD}.$$

Найдём объём полной пирамиды. Для этого используем формулу:

$$V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DO.$$

Основание — правильный треугольник со стороной $$a$$, значит

$$S_{\triangle ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

В правильном треугольнике радиус вписанной окружности равен

$$OH=\frac{a}{2\sqrt{3}}.$$

Апофема боковой грани полной пирамиды равна $$DH=a$$. В прямоугольном треугольнике $$ODH$$ по теореме Пифагора:

$$ OD=\sqrt{DH^2-OH^2} =\sqrt{a^2-\frac{a^2}{12}} =a\sqrt{\frac{11}{12}}. $$

Тогда