Упр.490 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Стороны оснований правильной усечённой треугольной пирамиды равны $$a$$ и $$0{,}5a$$, апофема боковой грани равна $$a$$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Пусть дана правильная усечённая треугольная пирамида с основаниями $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$. Достроим её до полной правильной пирамиды $$DABC$$.

Тогда объём усечённой пирамиды равен разности объёмов:

$$V=V_{DABC}-V_{DA_1B_1C_1}.$$

Так как основания подобны, а стороны оснований относятся как $$a:\frac a2=2:1,$$ то линейный коэффициент подобия полной пирамиды и отсечённой верхней пирамиды равен $$2:1$$. Следовательно, их объёмы относятся как $$2^3:1^3=8:1$$, значит

$$V_{DA_1B_1C_1}=\frac18V_{DABC},$$

и потому

$$V=\frac78V_{DABC}.$$

Найдём объём полной пирамиды:

$$V_{DABC}=\frac13S_{ABC}\cdot DO.$$

Основание $$ABC$$ — правильный треугольник со стороной $$a$$, поэтому

$$S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt3}{4}.$$

Пусть $$H$$ — середина стороны $$AB$$. Тогда $$OH$$ — радиус вписанной окружности правильного треугольника:

$$OH=\frac{a}{2\sqrt3}.$$

Апофема боковой грани равна $$a$$, значит $$DH=a$$. В прямоугольном треугольнике $$DOH$$:

$$DO=\sqrt{DH^2-OH^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{12}}=a\sqrt{\frac{11}{12}}=\frac{a\sqrt{33}}{6}.$$

Тогда

$$V_{DABC}=\frac13\cdot \frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot \frac{a\sqrt{33}}{6} =\frac{a^3\sqrt{99}}{72} =\frac{a^3\cdot 3\sqrt{11}}{72} =\frac{a^3\sqrt{11}}{24}.$$

Следовательно,

$$V=\frac78\cdot \frac{a^3\sqrt{11}}{24}=\frac{7a^3\sqrt{11}}{192}.$$

Ответ: $$\frac{7\sqrt{11}}{192}a^3$$.