Упр.489 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основанием пирамиды $$DABC$$ является треугольник, в котором $$AB=20\ \text{см}$$, $$AC=29\ \text{см}$$, $$BC=21\ \text{см}$$. Грани $$DAB$$ и $$DAC$$ перпендикулярны к плоскости основания, а грань $$DBC$$ составляет с ней угол в $$60^\circ$$. Найдите объем пирамиды.

Объём пирамиды найдём по формуле

$$V=\frac13 S_{\triangle ABC}\cdot h,$$

где $$h$$ — высота пирамиды.

Так как грани $$DAB$$ и $$DAC$$ перпендикулярны к плоскости основания $$ABC$$, то их линия пересечения $$AD$$ тоже перпендикулярна плоскости $$ABC$$. Значит, $$AD$$ — высота пирамиды.

Проведём $$AH\perp BC$$. Тогда $$DH\perp BC$$, а угол между гранью $$DBC$$ и плоскостью основания равен линейному углу двугранного угла, то есть

$$\angle DHA=60^\circ.$$

Найдём площадь основания по формуле Герона:

$$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{20+29+21}{2}=35,$$
$$S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} =\sqrt{35\cdot 15\cdot 6\cdot 14}=210\ \text{см}^2.$$

Теперь найдём высоту $$AH$$ из площади треугольника $$ABC$$:

$$S_{\triangle ABC}=\frac12\cdot BC\cdot AH,$$
$$210=\frac12\cdot 21\cdot AH,$$
$$AH=\frac{2\cdot 210}{21}=20\ \text{см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AHD$$:

$$\tan \angle DHA=\frac{AD}{AH},$$
откуда

$$AD=AH\cdot \tan 60^\circ=20\cdot \sqrt3=20\sqrt3\ \text{см}.$$

Тогда

$$V=\frac13\cdot 210\cdot 20\sqrt3=1400\sqrt3\ \text{см}^3.$$

Ответ: $$1400\sqrt3\ \text{см}^3$$.