Упр.488 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите объём треугольной пирамиды $$SABC$$, если:
а) $$\angle CAB=90^\circ$$, $$BC=c$$, $$\angle ABC=\varphi$$ и каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол $$\theta$$;
б) $$AB=12\ \text{см}$$, $$BC=CA=10\ \text{см}$$ и двугранные углы при основании равны $$45^\circ$$;
в) боковые рёбра попарно перпендикулярны и имеют длины $$a$$, $$b$$ и $$c$$.

Подробный ответ

а) Проведём высоту пирамиды $$SH$$, где $$H\in BC$$. Так как каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол $$\theta$$, то в прямоугольных треугольниках $$SAH$$, $$SBH$$ и $$SCH$$ имеем одинаковые углы при вершине $$S$$. Следовательно, $$HA=HB=HC$$, то есть точка $$H$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$.

Но $$\angle BAC=90^\circ$$, значит, треугольник $$ABC$$ прямоугольный, а центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы $$BC$$. Поэтому

$$BH=\frac{BC}{2}=\frac{c}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$SBH$$

$$\tg\theta=\frac{SH}{BH}, \qquad SH=BH\cdot\tg\theta=\frac{c}{2}\tg\theta.$$

Площадь основания:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC.$$

Так как $$\angle ABC=\varphi$$ и $$\angle BAC=90^\circ$$, то

$$AB=c\cos\varphi,\qquad AC=c\sin\varphi.$$

Тогда

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}c^2\sin\varphi\cos\varphi=\frac{c^2}{4}\sin 2\varphi.$$

Следовательно, объём пирамиды

$$V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot SH =\frac{1}{3}\cdot \frac{c^2}{4}\sin 2\varphi \cdot \frac{c}{2}\tg\theta =\frac{c^3\tg\theta\sin 2\varphi}{24}.$$

б) Пусть $$SO$$ — высота пирамиды. Проведём в основании перпендикуляры $$OD$$, $$OE$$, $$OH$$ к сторонам треугольника $$ABC$$. Так как двугранные углы при основании равны $$45^\circ$$, то в прямоугольных треугольниках, образованных высотой и перпендикулярами к сторонам основания, получаем

$$OD=OE=OH=r,$$

то есть точка $$O$$ — центр вписанной окружности треугольника $$ABC$$, а $$SO=r$$.

Тогда

$$V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot SO=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot r=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot \frac{S_{ABC}}{p},$$

где $$p$$ — полупериметр основания.

Найдём площадь треугольника $$ABC$$ по формуле Герона:

$$p=\frac{10+10+12}{2}=16,$$

$$S_{ABC}=\sqrt{16\cdot(16-10)\cdot(16-10)\cdot(16-12)} =\sqrt{16\cdot 6\cdot 6\cdot 4}=48.$$

Тогда

$$V=\frac{1}{3}\cdot 48\cdot \frac{48}{16}=48\ \text{см}^3.$$

в) Пусть боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны и равны $$a$$, $$b$$ и $$c$$. Тогда можно считать, что из одной вершины выходят три взаимно перпендикулярных ребра длины $$a$$, $$b$$ и $$c$$. Объём такой треугольной пирамиды равен

$$V=\frac{1}{6}abc.$$