Упр.487 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием пирамиды является ромб со стороной $$6\ \text{см}$$. Каждый из двугранных углов при основании равен $$45^\circ$$. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна $$1{,}5\ \text{см}$$.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей ромба $$ABCD$$. Так как основание пирамиды — ромб, то вершина пирамиды проектируется в точку $$O$$.

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра из точки $$O$$ на сторону $$BC$$. Тогда по условию двугранный угол при ребре $$BC$$ равен $$45^\circ$$, значит в прямоугольном треугольнике $$KOH$$

$$\angle OHK=45^\circ,$$

следовательно, $$KO=OH$$. Но $$KO=1{,}5$$ см, значит

$$OH=1{,}5\text{ см}.$$

Площадь треугольника $$BOC$$ равна

$$S_{BOC}=\frac12\cdot BC\cdot OH=\frac12\cdot 6\cdot 1{,}5=4{,}5\text{ см}^2.$$

Диагонали ромба делят его на 4 равных треугольника, поэтому

$$S_{ABCD}=4\cdot S_{BOC}=4\cdot 4{,}5=18\text{ см}^2.$$

Теперь найдём объём пирамиды:

$$V=\frac13 S_{ABCD}\cdot KO=\frac13\cdot 18\cdot 1{,}5=9\text{ см}^3.$$

Ответ: $$9\text{ см}^3$$.