Упр.487 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды является ромб со стороной 6 см. Каждый из двугранных углов при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 1,5 см.

Подробный ответ

Объём пирамиды вычисляется по формуле

$$V=\frac{1}{3}S_{\text{основания}}\cdot h.$$

Основание пирамиды — ромб со стороной $$6$$ см. По условию все двугранные углы при основании равны $$45^\circ$$, значит вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей ромба. Обозначим эту точку через $$O$$, а высоту пирамиды — $$KO=1{,}5$$ см.

Рассмотрим грань, например $$KBC$$, и опустим из точки $$O$$ перпендикуляр $$OH$$ на сторону $$BC$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$KOH$$ угол $$\angle OHK=45^\circ$$, поэтому

$$OH=KO=1{,}5\text{ см}.$$

Площадь одной из четырёх равных частей основания, например треугольника $$BOC$$, равна

$$S_{BOC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot OH=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 1{,}5=4{,}5\text{ см}^2.$$

Тогда площадь всего ромба:

$$S_{\text{основания}}=4\cdot 4{,}5=18\text{ см}^2.$$

Теперь найдём объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 18\cdot 1{,}5=9\text{ см}^3.$$