Упр.486 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что если в пирамиду можно вписать шар, то объем V пирамиды можно вычислить по формуле V = i S • г, где S — пло- U щадь полной поверхности пирамиды, а r — радиус вписанного в пирамиду шара.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ центр вписанного в пирамиду шара, а через $$r$$ его радиус. Тогда расстояние от точки $$O$$ до каждой грани пирамиды равно $$r$$.

Разобьём пирамиду на пирамиды с вершиной в точке $$O$$ и основаниями, совпадающими с гранями исходной пирамиды. Тогда каждая такая часть имеет высоту $$r$$, а её основание — соответствующую грань пирамиды.

По формуле объёма пирамиды:

$$V_i=\frac{1}{3}S_i r,$$

где $$S_i$$ — площадь i-й грани пирамиды.

Складывая объёмы всех полученных пирамид, получаем:

$$ V=\sum \frac{1}{3}S_i r =\frac{1}{3}r\sum S_i. $$

Но сумма площадей всех граней пирамиды равна её полной поверхности $$S$$. Значит,

$$V=\frac{1}{3}Sr.$$