Упр.486 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что если в пирамиду можно вписать шар, то объем $$V$$ пирамиды можно вычислить по формуле $$V=\frac{1}{3}Sr$$, где $$S$$ — площадь полной поверхности пирамиды, а $$r$$ — радиус вписанного в пирамиду шара.

Подробный ответ

Пусть в пирамиду вписан шар радиуса $$r$$, а его центр обозначен через $$O$$. Тогда расстояние от точки $$O$$ до каждой грани пирамиды равно $$r$$.

Разобьём пирамиду на пирамиды с вершиной в точке $$O$$ и основаниями, совпадающими с гранями исходной пирамиды. Тогда каждая такая пирамида имеет высоту $$r$$, а её основанием служит одна из граней пирамиды.

По формуле объёма пирамиды получаем:

$$V=\sum \frac{1}{3}S_i r=\frac{1}{3}r\sum S_i,$$

где $$S_i$$ — площади всех граней пирамиды. Сумма площадей всех граней равна полной поверхности пирамиды $$S$$, значит

$$V=\frac{1}{3}Sr.$$

Тем самым доказано, что объём пирамиды с вписанным шаром вычисляется по формуле $$V=\frac{1}{3}Sr$$.