Упр.485 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами $$a$$ и $$b$$. Каждое её боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $$\varphi$$. Найдите объём пирамиды.
Пусть $$H$$ — основание высоты пирамиды, тогда $$DH$$ — её высота.
Так как каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $$\varphi$$, то в прямоугольных треугольниках $$DHA$$, $$DHB$$ и $$DHC$$ имеем
$$\angle DAH=\angle DBH=\angle DCH=\varphi.$$
Следовательно,
$$AH=BH=CH.$$
Значит, точка $$H$$ равноудалена от вершин $$A$$, $$B$$ и $$C$$, то есть это центр описанной окружности треугольника $$ABC$$. Но $$\triangle ABC$$ прямоугольный, поэтому центр описанной окружности — середина гипотенузы $$BC$$.
Тогда
$$BH=\frac{BC}{2}.$$
По теореме Пифагора для треугольника $$ABC$$:
$$BC=\sqrt{a^2+b^2},$$
значит
$$BH=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$DHB$$
$$\tg\varphi=\frac{DH}{BH},$$
откуда
$$DH=BH\cdot\tg\varphi=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\tg\varphi.$$
Площадь основания:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}ab.$$
Тогда объём пирамиды равен
$$V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot DH =\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}ab\cdot \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\tg\varphi =\frac{ab\sqrt{a^2+b^2}\tg\varphi}{12}.$$
Ответ
$$V=\frac{ab\sqrt{a^2+b^2}\tg\varphi}{12}.$$
