Упр.485 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами а и b. Каждое ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом ф. Найдите объем пирамиды.

Подробный ответ

Обозначим через $$H$$ основание высоты пирамиды, тогда $$DH$$ — высота пирамиды.

Так как каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $$\varphi$$, то в прямоугольных треугольниках $$DHA$$, $$DHB$$ и $$DHC$$ имеем:

$$\angle DAH=\angle DBH=\angle DCH=\varphi.$$

Следовательно,

$$AH=BH=CH.$$

Значит, точка $$H$$ равноудалена от вершин $$A$$, $$B$$ и $$C$$, то есть это центр описанной окружности треугольника $$ABC$$.

Но $$\triangle ABC$$ прямоугольный, так как $$\angle BAC=90^\circ$$. Поэтому центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы $$BC$$, а радиус описанной окружности равен

$$BH=\frac{BC}{2}.$$

По теореме Пифагора

$$BC=\sqrt{a^2+b^2},$$

значит,

$$BH=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$DHB$$

$$\tg\varphi=\frac{DH}{BH},$$

откуда

$$DH=BH\cdot\tg\varphi=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\tg\varphi.$$

Площадь основания:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}ab.$$

Тогда объём пирамиды равен