Упр.484 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основание пирамиды — равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC = 13 см, AC = 10 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с ее высотой угол в 30°. Вычислите объем пирамиды.

Подробный ответ

Объём пирамиды равен

$$V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DO.$$

Пусть $$O$$ — основание высоты $$DO$$. Так как каждое боковое ребро образует с высотой угол $$30^\circ$$, то треугольники $$DOA$$, $$DOB$$ и $$DOC$$ прямоугольные и равные по гипотенузе и острому углу. Значит,

$$OA=OB=OC,$$

то есть точка $$O$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$, а $$OA=R_{\triangle ABC}$$.

Найдём радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$. Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, $$AB=BC=13$$, $$AC=10$$. Высота $$BH$$, проведённая к основанию $$AC$$, является также медианой, поэтому

$$AH=HC=5.$$

Из прямоугольного треугольника $$ABH$$:

$$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12.$$

Тогда

$$\sin \angle CAB=\frac{BH}{AB}=\frac{12}{13}.$$

По формуле для радиуса описанной окружности:

$$R_{\triangle ABC}=\frac{BC}{2\sin \angle CAB}=\frac{13}{2\cdot \frac{12}{13}}=\frac{169}{24}.$$

Теперь найдём высоту пирамиды. В прямоугольном треугольнике $$DOA$$

$$\tan 30^\circ=\frac{OA}{DO},$$

откуда

$$DO=OA\sqrt{3}=R_{\triangle ABC}\sqrt{3}=\frac{169\sqrt{3}}{24}.$$

Площадь основания найдём по формуле Герона: