Упр.484 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основание пирамиды — равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $$AB=BC=13\text{ см},\quad AC=10\text{ см}.$$ Каждое боковое ребро пирамиды образует с её высотой угол в $$30^\circ.$$ Вычислите объём пирамиды.

Подробный ответ

Обозначим вершину пирамиды через $$D$$, а основание — треугольник $$ABC$$. Пусть $$DO$$ — высота пирамиды, тогда $$O$$ — проекция точки $$D$$ на плоскость основания.

Так как каждое боковое ребро образует с высотой угол $$30^\circ$$, то треугольники $$DOA$$, $$DOB$$ и $$DOC$$ прямоугольные и равные по гипотенузе и острому углу. Значит,

$$OA=OB=OC.$$

Следовательно, точка $$O$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$, а $$OA=R$$ — его радиус.

Найдём радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$. Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, $$AB=BC=13$$, $$AC=10$$. Высота $$BH$$, проведённая к основанию $$AC$$, является также медианой, поэтому

$$AH=HC=5.$$

Из прямоугольного треугольника $$ABH$$:

$$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12.$$

Площадь основания:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 12=60.$$

Теперь найдём радиус описанной окружности:

$$R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S_{ABC}}=\frac{13\cdot 13\cdot 10}{4\cdot 60}=\frac{169}{24}.$$

В прямоугольном треугольнике $$DOA$$:

$$\tan 30^\circ=\frac{OA}{DO}=\frac{R}{DO},$$

откуда

$$DO=R\sqrt{3}=\frac{169\sqrt{3}}{24}.$$

Тогда объём пирамиды равен