Упр.483 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите объем и площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно $$13\ \text{см}$$, а диаметр круга, вписанного в основание, равен $$6\ \text{см}$$.

Пусть $$ABCDEF$$ — основание правильной шестиугольной пирамиды, $$K$$ — её вершина, $$O$$ — центр основания. Тогда $$KO$$ — высота пирамиды, а боковые грани равны.

Диаметр вписанной в основание окружности равен $$6$$ см, значит её радиус

$$r=3\text{ см}.$$

Для правильного шестиугольника

$$r=\frac{a\sqrt{3}}{2},$$

где $$a$$ — сторона основания. Тогда

$$a=\frac{2r}{\sqrt{3}}=\frac{2\cdot 3}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\text{ см}.$$

Площадь основания правильного шестиугольника:

$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}Pr=\frac{1}{2}\cdot 6a\cdot r=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2\sqrt{3}\cdot 3=18\sqrt{3}\text{ см}^2.$$

Найдём высоту пирамиды. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до вершины равно стороне, значит

$$OA=a=2\sqrt{3}\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$KOA$$:

$$KO=\sqrt{KA^2-OA^2}=\sqrt{13^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{169-12}=\sqrt{157}\text{ см}.$$

Тогда объём пирамиды

$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot KO=\frac{1}{3}\cdot 18\sqrt{3}\cdot \sqrt{157}=6\sqrt{471}\text{ см}^3.$$

Теперь найдём площадь боковой поверхности. Она состоит из 6 равных боковых граней:

$$S_{\text{бок}}=6S_{\triangle KAB}.$$

В боковой грани $$KAB$$ высота к основанию $$AB$$ проходит через его середину. Обозначим её через $$l$$. Тогда в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$KA=13$$ и катетами $$KO=\sqrt{157}$$ и $$OA=2\sqrt{3}$$ получаем апофему боковой грани:

$$l=\sqrt{KO^2+OM^2}=\sqrt{157+\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=\sqrt{157+3}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}\text{ см},$$

где $$M$$ — середина стороны $$AB$$, а $$OM=\dfrac{r}{2}=\dfrac{3}{2}$$ здесь не подходит; удобнее сразу использовать треугольник $$KAM$$, в котором

$$AM=\frac{AB}{2}=\sqrt{3},$$

и тогда

$$KM=\sqrt{KA^2-AM^2}=\sqrt{13^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{166}\text{ см}.$$

Следовательно, площадь одной боковой грани:

$$S_{\triangle KAB}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot KM=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot \sqrt{166}=\sqrt{498}\text{ см}^2.$$

Значит,

$$S_{\text{бок}}=6\sqrt{498}\text{ см}^2.$$

Ответ: $$V=6\sqrt{471}\text{ см}^3,\quad S_{\text{бок}}=6\sqrt{498}\text{ см}^2.$$