Упр.482 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно m и составляет с плоскостью основания угол ф. Найдите объем пирамиды.

Подробный ответ

Обозначим вершину пирамиды через $$K$$, а центр основания — через $$O$$. Тогда $$KO$$ — высота пирамиды, а проекция бокового ребра $$KC$$ на плоскость основания — отрезок $$OC$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$KOC$$. По условию $$KC=m$$ и угол между ребром $$KC$$ и плоскостью основания равен $$\varphi$$, значит

$$OC=KC\cdot \cos\varphi=m\cos\varphi,$$

$$KO=KC\cdot \sin\varphi=m\sin\varphi.$$

Основание пирамиды — квадрат. Его диагональ равна $$2OC$$, поэтому сторона квадрата

$$a=\frac{2OC}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\,OC=\sqrt{2}\,m\cos\varphi.$$

Тогда площадь основания:

$$S_{\text{осн}}=a^2=2m^2\cos^2\varphi.$$

Теперь найдём объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot KO=\frac{1}{3}\cdot 2m^2\cos^2\varphi \cdot m\sin\varphi.$$

Следовательно,

$$V=\frac{2}{3}m^3\cos^2\varphi\sin\varphi.$$