Упр.482 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно $$m$$ и составляет с плоскостью основания угол $$\varphi$$. Найдите объём пирамиды.

Пусть $$K$$ — вершина пирамиды, $$O$$ — основание высоты, $$C$$ — вершина основания. Тогда $$KO \perp (ABCD)$$, а значит треугольник $$KOC$$ прямоугольный.

По условию $$KC=m$$ и $$\angle OCK=\varphi$$. Тогда

$$OC=KC\cdot \cos\varphi=m\cos\varphi,$$

$$KO=KC\cdot \sin\varphi=m\sin\varphi.$$

Основание пирамиды — квадрат. Его диагональ равна $$2OC$$, поэтому сторона квадрата

$$a=\frac{2OC}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\,OC=\sqrt{2}\,m\cos\varphi.$$

Следовательно, площадь основания:

$$S_{\text{осн}}=a^2=2m^2\cos^2\varphi.$$

Теперь найдём объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot KO =\frac{1}{3}\cdot 2m^2\cos^2\varphi \cdot m\sin\varphi =\frac{2}{3}m^3\cos^2\varphi\sin\varphi.$$

Используя формулу $$\sin 2\varphi=2\sin\varphi\cos\varphi$$, получаем

$$V=\frac{m^3\sin 2\varphi\cos\varphi}{3}.$$

Ответ: $$V=\frac{m^3\sin 2\varphi\cos\varphi}{3}.$$