Упр.481 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если:
а) ее высота равна $$H$$, а двугранный угол при основании равен $$P$$;
б) сторона основания равна $$m$$, а плоский угол при вершине равен $$а$$.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ центр квадрата основания, а через $$E$$ — середину стороны основания, к которой проведён двугранный угол. Тогда $$OE\perp BC$$, а в правильной пирамиде $$KO\perp ABCD$$.

а)

Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через вершину пирамиды, центр основания и середину стороны основания. В этом сечении двугранный угол при основании равен углу $$\beta$$ между высотой $$KO$$ и отрезком $$OE$$.

В прямоугольном треугольнике $$KOE$$:

$$\tg\beta=\frac{KO}{OE}=\frac{H}{OE},$$

откуда

$$OE=\frac{H}{\tg\beta}.$$

Так как $$O$$ — центр квадрата, то

$$AB=2OE=\frac{2H}{\tg\beta}.$$

Следовательно, площадь основания равна

$$S_{осн}=AB^2=\left(\frac{2H}{\tg\beta}\right)^2=\frac{4H^2}{\tg^2\beta}.$$

Тогда объём пирамиды:

$$V=\frac13 S_{осн}\cdot H=\frac13\cdot \frac{4H^2}{\tg^2\beta}\cdot H=\frac{4H^3}{3\tg^2\beta}.$$

б)

Пусть $$BC=m$$. Тогда площадь основания:

$$S_{осн}=m^2.$$

Рассмотрим боковую грань, содержащую ребро $$BC$$. Она — равнобедренный треугольник, а его высота из вершины пирамиды к ребру $$BC$$ является также медианой. Поэтому в прямоугольном треугольнике с гипотенузой бокового ребра имеем

$$\frac{m}{2}=KC\sin\frac{\alpha}{2},$$

откуда

$$KC=\frac{m}{2\sin\frac{\alpha}{2}}.$$

Так как $$O$$ — центр квадрата, то

$$CO=\frac{m}{\sqrt2}.$$

Из прямоугольного треугольника $$KCO$$:

$$KO=\sqrt{KC^2-CO^2}$$

$$=\sqrt{\left(\frac{m}{2\sin\frac{\alpha}{2}}\right)^2-\left(\frac{m}{\sqrt2}\right)^2}$$

$$=m\sqrt{\frac{1-2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{4\sin^2\frac{\alpha}{2}}}.$$

Так как $$1-2\sin^2\frac{\alpha}{2}=\cos\alpha$$, то

$$KO=\frac{m\sqrt{\cos\alpha}}{2\sin\frac{\alpha}{2}}.$$

Теперь объём пирамиды:

$$V=\frac13 S_{осн}\cdot KO=\frac13\cdot m^2\cdot \frac{m\sqrt{\cos\alpha}}{2\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{m^3\sqrt{\cos\alpha}}{6\sin\frac{\alpha}{2}}.$$