Упр.480 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен ф, а сторона основания равна а. Найдите объем пирамиды.

Подробный ответ

Обозначим через $$S$$ вершину пирамиды, а основание — равносторонний треугольник $$ABC$$ со стороной $$a$$. Тогда

$$V=\frac13 S_{ABC}\cdot h,$$

где $$h$$ — высота пирамиды.

Плоский угол при вершине равен $$\varphi$$, значит в боковой грани $$SAB$$ треугольник равнобедренный, и высота, проведённая из $$S$$ к ребру $$AB$$, делит угол пополам. Пусть $$M$$ — середина $$AB$$. Тогда

$$AM=\frac a2,$$

и в прямоугольном треугольнике $$SAM$$

$$\sin\frac{\varphi}{2}=\frac{AM}{SA}=\frac{a/2}{SA},$$

откуда

$$SA=\frac{a}{2\sin\frac{\varphi}{2}}.$$

Так как основание — равносторонний треугольник, его площадь равна

$$S_{ABC}=\frac{\sqrt3}{4}a^2.$$

Пусть $$O$$ — центр основания. Тогда $$SO\perp (ABC)$$, а в равностороннем треугольнике

$$AO=\frac{a}{\sqrt3}.$$

В прямоугольном треугольнике $$SAO$$ по теореме Пифагора:

$$ SO=\sqrt{SA^2-AO^2} =\sqrt{\left(\frac{a}{2\sin\frac{\varphi}{2}}\right)^2-\left(\frac{a}{\sqrt3}\right)^2}. $$

Приведём к общему виду:

$$ SO=a\sqrt{\frac{3-4\sin^2\frac{\varphi}{2}}{12\sin^2\frac{\varphi}{2}}}. $$

Теперь найдём объём:

$$ V=\frac13\cdot \frac{\sqrt3}{4}a^2\cdot a\sqrt{\frac{3-4\sin^2\frac{\varphi}{2}}{12\sin^2\frac{\varphi}{2}}} =\frac{a^3}{24\sin\frac{\varphi}{2}}\sqrt{3-4\sin^2\frac{\varphi}{2}}. $$