Упр.480 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен $$\varphi$$, а сторона основания равна $$a$$. Найдите объём пирамиды.

Пусть $$ABC D$$ — правильная треугольная пирамида, $$AB=BC=CA=a$$, а плоский угол при вершине равен $$\varphi$$.

Объём пирамиды найдём по формуле

$$V=\frac13 S_{ABC}\cdot DO,$$

где $$S_{ABC}$$ — площадь основания, $$DO$$ — высота пирамиды.

Так как боковые рёбра равны, треугольник $$ADB$$ равнобедренный. Тогда высота, проведённая из $$D$$ к основанию $$AB$$, делит угол $$\angle ADB=\varphi$$ пополам. Обозначим точку пересечения этой высоты с $$AB$$ через $$H$$. Тогда

$$\frac{AB}{2}=AD\sin\frac{\varphi}{2},$$

откуда

$$AD=\frac{a}{2\sin\frac{\varphi}{2}}.$$

Основание пирамиды — равносторонний треугольник, значит

$$S_{ABC}=\frac{\sqrt3}{4}a^2.$$

Пусть $$O$$ — центр основания. Для равностороннего треугольника

$$AO=\frac{a}{\sqrt3}.$$

В прямоугольном треугольнике $$DAO$$ по теореме Пифагора:

$$DO=\sqrt{AD^2-AO^2} =\sqrt{\left(\frac{a}{2\sin\frac{\varphi}{2}}\right)^2-\left(\frac{a}{\sqrt3}\right)^2}.$$

Приведём к общему виду:

$$DO=a\sqrt{\frac{3-4\sin^2\frac{\varphi}{2}}{12\sin^2\frac{\varphi}{2}}}.$$

Тогда

$$V=\frac13\cdot \frac{\sqrt3}{4}a^2\cdot a\sqrt{\frac{3-4\sin^2\frac{\varphi}{2}}{12\sin^2\frac{\varphi}{2}}} =\frac{a^3}{24\sin\frac{\varphi}{2}}\sqrt{3-4\sin^2\frac{\varphi}{2}}.$$

Ответ: $$V=\frac{a^3}{24\sin\frac{\varphi}{2}}\sqrt{3-4\sin^2\frac{\varphi}{2}}.$$