Упр.479 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром $$1$$, если:
а) боковое ребро составляет с плоскостью основания угол $$\varphi$$;
б) боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол $$\alpha$$;
в) плоский угол при вершине равен $$\rho$$.
Обозначим боковое ребро пирамиды через $$l$$. Тогда объём правильной треугольной пирамиды равен
$$V=\frac13 S_{\text{осн}} \cdot h,$$
где $$S_{\text{осн}}$$ — площадь основания, $$h$$ — высота пирамиды.
а) Боковое ребро составляет с плоскостью основания угол $$\varphi$$
Пусть $$O$$ — центр основания, тогда $$DO\perp (ABC)$$ и $$DO=h$$. В прямоугольном треугольнике $$CDO$$ имеем
$$DO=l\sin\varphi,$$
а проекция бокового ребра на основание равна
$$CO=l\cos\varphi.$$
Так как $$ABC$$ — равносторонний треугольник, то его радиус описанной окружности
$$CO=R=\frac{a}{\sqrt3},$$
где $$a$$ — сторона основания. Значит,
$$a=\sqrt3\,l\cos\varphi.$$
Тогда
$$S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt3}{4}a^2=\frac{\sqrt3}{4}\cdot 3l^2\cos^2\varphi=\frac{3\sqrt3}{4}l^2\cos^2\varphi.$$
Следовательно,
$$V=\frac13\cdot \frac{3\sqrt3}{4}l^2\cos^2\varphi \cdot l\sin\varphi =\frac{\sqrt3}{4}l^3\cos^2\varphi\sin\varphi.$$
б) Боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол $$\alpha$$
Рассмотрим треугольник $$DAC$$. Он равнобедренный, так как $$DA=DC=l$$. Высота из вершины $$D$$ к стороне $$AC$$ является также медианой, поэтому
$$\frac{AC}{2}=l\cos\alpha,$$
откуда
$$AC=2l\cos\alpha.$$
Основание — равносторонний треугольник, значит
$$S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt3}{4}AC^2=\frac{\sqrt3}{4}\cdot (2l\cos\alpha)^2=\sqrt3\,l^2\cos^2\alpha.$$
Для радиуса описанной окружности основания получаем
$$R=\frac{AC}{\sqrt3}=\frac{2l\cos\alpha}{\sqrt3}.$$
В прямоугольном треугольнике $$CDO$$:
$$h=DO=\sqrt{CD^2-CO^2}=\sqrt{l^2-\left(\frac{2l\cos\alpha}{\sqrt3}\right)^2} =l\sqrt{\frac{3-4\cos^2\alpha}{3}}.$$
Тогда
$$V=\frac13\cdot \sqrt3\,l^2\cos^2\alpha \cdot l\sqrt{\frac{3-4\cos^2\alpha}{3}} =\frac{l^3}{3}\cos^2\alpha\sqrt{3-4\cos^2\alpha}.$$
в) Плоский угол при вершине равен $$\beta$$
В боковой грани $$ADB$$ треугольник равнобедренный, поэтому высота из вершины $$D$$ делит угол $$\beta$$ пополам. Тогда в прямоугольном треугольнике
$$\cos\frac{\beta}{2}=\frac{AH}{DA}=\frac{AH}{l},$$
то есть
$$AH=l\cos\frac{\beta}{2}.$$
Но $$AH$$ — это половина стороны основания равностороннего треугольника, значит
$$a=2l\cos\frac{\beta}{2}.$$
Тогда
$$S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt3}{4}a^2=\frac{\sqrt3}{4}\cdot 4l^2\cos^2\frac{\beta}{2} =\sqrt3\,l^2\cos^2\frac{\beta}{2}.$$
Радиус описанной окружности основания:
$$R=\frac{a}{\sqrt3}=\frac{2l\cos\frac{\beta}{2}}{\sqrt3}.$$
Высота пирамиды:
$$h=\sqrt{l^2-R^2} =\sqrt{l^2-\frac{4l^2\cos^2\frac{\beta}{2}}{3}} =l\sqrt{\frac{3-4\cos^2\frac{\beta}{2}}{3}}.$$
Следовательно,
$$V=\frac13\cdot \sqrt3\,l^2\cos^2\frac{\beta}{2}\cdot l\sqrt{\frac{3-4\cos^2\frac{\beta}{2}}{3}} =\frac{l^3}{3}\cos^2\frac{\beta}{2}\sqrt{3-4\cos^2\frac{\beta}{2}}.$$
Ответ
$$\text{а) }V=\frac{\sqrt3}{4}l^3\cos^2\varphi\sin\varphi,$$
$$\text{б) }V=\frac{l^3}{3}\cos^2\alpha\sqrt{3-4\cos^2\alpha},$$
$$\text{в) }V=\frac{l^3}{3}\cos^2\frac{\beta}{2}\sqrt{3-4\cos^2\frac{\beta}{2}}.$$
