Упр.476 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите объем наклонной треугольной призмы, если расстояния между ее боковыми ребрами равны 37 см, 13 см и 30 см, а площадь боковой поверхности равна 480 см2.

Подробный ответ

Объём призмы равен произведению площади её перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

$$V=S_{\text{сечения}}\cdot l.$$

Перпендикулярное сечение наклонной треугольной призмы — треугольник со сторонами, равными расстояниям между боковыми рёбрами, то есть со сторонами $$37\text{ см},\ 13\text{ см},\ 30\text{ см}.$$

Найдём его площадь по формуле Герона:

$$p=\frac{37+13+30}{2}=40.$$

Тогда

$$S_{\triangle}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{40\cdot(40-37)\cdot(40-13)\cdot(40-30)}.$$

$$S_{\triangle}=\sqrt{40\cdot 3\cdot 27\cdot 10}=\sqrt{32400}=180\text{ см}^2.$$

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

$$S_{\text{бок}}=P_{\triangle}\cdot l.$$

Значит,

$$480=(37+13+30)\cdot l=80l,$$

откуда

$$l=\frac{480}{80}=6\text{ см}.$$

Теперь найдём объём: