Упр.474 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Все грани параллелепипеда — равные ромбы, диагонали которых равны $$6\text{ см}$$ и $$8\text{ см}$$. Найдите объем параллелепипеда.

Площадь основания параллелепипеда равна площади ромба:

$$S_{осн}=\frac12 d_1d_2=\frac12\cdot 6\cdot 8=24\text{ см}^2.$$

Найдём сторону ромба. Его диагонали перпендикулярны и делятся пополам, значит

$$a=\sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2+\left(\frac{8}{2}\right)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ см}.$$

Пусть $$h$$ — высота параллелепипеда. Тогда объём

$$V=S_{осн}\cdot h=24h.$$

Чтобы найти $$h$$, рассмотрим боковую грань. Так как все грани — равные ромбы, то боковая грань тоже ромб со стороной $$5$$ см и диагоналями $$6$$ и $$8$$ см. Высота параллелепипеда равна высоте этого ромба, опущенной на сторону $$5$$.

Площадь боковой грани:

$$S_{бок}=\frac12\cdot 6\cdot 8=24\text{ см}^2.$$

С другой стороны, если обозначить высоту ромба через $$h$$, то

$$24=5h,$$

откуда

$$h=\frac{24}{5}\text{ см}.$$

Тогда объём параллелепипеда:

$$V=24\cdot \frac{24}{5}=\frac{576}{5}\text{ см}^3.$$

Ответ: $$\frac{576}{5}\text{ см}^3$$.