Упр.473 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами а и b. Боковое ребро длины с составляет со смежными сторонами основания углы, равные ф. Найдите объем параллелепипеда.

Обозначим высоту параллелепипеда через $$A_1H$$. Тогда

$$V=S_{основания}\cdot A_1H=S_{ABCD}\cdot A_1H=ab\cdot A_1H.$$

Проведём в основании из точки $A$ перпендикуляры к сторонам $AB$ и $AD$: пусть $$AE\perp AB,\qquad AF\perp AD.$$

Так как $$A_1F\perp AD,\qquad A_1E\perp AB,$$ то из прямоугольных треугольников получаем

$$AF=AA_1\cos\varphi=c\cos\varphi,\qquad AE=AA_1\cos\varphi=c\cos\varphi.$$

Поскольку $$ABCD$$ — прямоугольник, то $$\angle DAB=90^\circ,$$ а значит

$$\angle FAH=\angle EAH=45^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$AEH$$ имеем

$$AH=\frac{AE}{\cos 45^\circ}=\sqrt2\,c\cos\varphi.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AA_1H$$:

$$A_1H=\sqrt{AA_1^2-AH^2}=\sqrt{c^2-2c^2\cos^2\varphi}.$$

Преобразуем подкоренное выражение:

$$ A_1H=c\sqrt{1-2\cos^2\varphi} =c\sqrt{-\cos 2\varphi}. $$

Следовательно, объём параллелепипеда равен

$$V=ab\cdot A_1H=abc\sqrt{-\cos 2\varphi}.$$

Ответ

$$V=abc\sqrt{-\cos 2\varphi}$$