Упр.473 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами $$a$$ и $$b$$. Боковое ребро длины $$c$$ составляет со смежными сторонами основания углы, равные $$\varphi$$. Найдите объём параллелепипеда.

Подробный ответ

Пусть $$A_1H$$ — высота наклонного параллелепипеда, опущенная на основание $$ABCD$$. Тогда

$$V=S_{ABCD}\cdot A_1H=ab\cdot A_1H.$$

Проведём в основании через точку $$A$$ прямую $$AE$$, перпендикулярную $$AB$$, и через точку $$A_1$$ — прямую $$A_1F$$, перпендикулярную $$AD$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах

$$A_1F=AA_1\sin\varphi=c\sin\varphi,$$

$$AF=AA_1\cos\varphi=c\cos\varphi.$$

Треугольники $$FHA$$ и $$EHA$$ прямоугольные и имеют общий катет $$AH$$, поэтому

$$\angle FAH=\angle EAH=\angle DAB=45^\circ.$$

Следовательно,

$$AH=\frac{AE}{\cos 45^\circ}=\sqrt2\,AE=\sqrt2\,c\cos\varphi.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AA_1H$$:

$$A_1H=\sqrt{AA_1^2-AH^2}=\sqrt{c^2-2c^2\cos^2\varphi}.$$

Преобразуем:

$$A_1H=c\sqrt{1-2\cos^2\varphi} =c\sqrt{-\cos 2\varphi}.$$

Тогда объём параллелепипеда равен

$$V=ab\cdot c\sqrt{-\cos 2\varphi}.$$