Упр.472 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием наклонной призмы $$ABCA_1B_1C_1$$ является прямоугольный треугольник $$ABC$$ с катетами $$AB=7\text{ см}$$ и $$AC=24\text{ см}$$. Вершина $$A_1$$ равноудалена от вершин $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Найдите объём призмы, если ребро $$AA_1$$ составляет с плоскостью основания угол в $$45^\circ$$.
Так как $$A_1B=A_1C=A_1A,$$ то проекция точки $$A_1$$ на плоскость основания $$ABC$$ равноудалена от вершин треугольника $$ABC$$. Значит, эта проекция совпадает с центром описанной окружности треугольника $$ABC$$, обозначим его через $$O$$.
Тогда $$OA_1$$ — высота призмы, а треугольник $$AA_1O$$ прямоугольный. Поскольку ребро $$AA_1$$ составляет с плоскостью основания угол $$45^\circ$$, то
$$\angle AA_1O=45^\circ,$$
следовательно, $$\triangle AA_1O$$ — равнобедренный прямоугольный, и потому
$$OA_1=OA.$$
Найдём $$OA$$. Сначала вычислим гипотенузу прямоугольного треугольника $$ABC$$:
$$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{625}=25.$$
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы, значит
$$OA=\frac{BC}{2}=\frac{25}{2}=12{,}5\text{ см}.$$
Следовательно,
$$OA_1=12{,}5\text{ см}.$$
Теперь найдём площадь основания:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 24=84\text{ см}^2.$$
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:
$$V=S_{ABC}\cdot OA_1=84\cdot 12{,}5=1050\text{ см}^3.$$
Ответ: $$1050\text{ см}^3$$.
