Упр.472 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием наклонной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с катетами AB = 7 см и AC = 24 см. Вершина A1 равноудалена от вершин А, B и С. Найдите объем призмы, если ребро AA1 составляет с плоскостью основания угол в 45°.

Подробный ответ

Так как $$A_1B=A_1C=A_1A,$$ то точка $$A_1$$ равноудалена от вершин треугольника $$ABC$$. Следовательно, её проекция на плоскость основания — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$. Обозначим эту проекцию через $$O$$.

Тогда $$OA=OB=OC$$, а треугольник $$OA A_1$$ прямоугольный, причём $$\angle AA_1O=45^\circ$$. Значит, он равнобедренный, и потому

$$OA_1=OA.$$

Найдём радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$. Так как $$\triangle ABC$$ прямоугольный, то центр описанной окружности — середина гипотенузы $$BC$$. Сначала вычислим гипотенузу:

$$ BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25. $$

Тогда

$$OA=\frac{BC}{2}=\frac{25}{2}=12{,}5,$$

значит, $$OA_1=12{,}5.$$

Площадь основания призмы:

$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 24=84. $$

Высота призмы равна перпендикулярной составляющей ребра $$AA_1$$ к плоскости основания. Так как $$\angle(AA_1,ABC)=45^\circ,$$ то в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$AA_1$$ имеем

$$h=OA_1\sin 45^\circ=12{,}5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Но удобнее заметить, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике $$OA A_1$$ высота к основанию равна половине гипотенузы, поэтому

$$h=OA=12{,}5.$$

Тогда объём призмы:

$$ V=S_{ABC}\cdot h=84\cdot 12{,}5=1050. $$