Упр.471 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основанием призмы $$ABCA_1B_1C_1$$ является равносторонний треугольник $$ABC$$ со стороной $$a$$. Вершина $$A_1$$ проектируется в центр этого основания, а ребро $$AA_1$$ составляет с плоскостью основания угол $$\alpha$$. Найдите объем призмы.

Пусть сторона основания равностороннего треугольника $$ABC$$ равна $$m$$. Тогда площадь основания призмы

$$S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}m^2.$$

Точка $$O$$ — центр равностороннего треугольника $$ABC$$, поэтому высота, медиана и биссектриса совпадают, а центр делит медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Значит, если $$AH$$ — высота треугольника, то

$$AH=\frac{\sqrt{3}}{2}m,$$

$$AO=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}m=\frac{m}{\sqrt{3}}.$$

Так как ребро $$AA_1$$ составляет с плоскостью основания угол $$\varphi$$, то в прямоугольном треугольнике $$OAA_1$$

$$A_1O=AO\tan\varphi=\frac{m}{\sqrt{3}}\tan\varphi.$$

Это и есть высота призмы. Тогда объём призмы равен

$$V=S_{ABC}\cdot A_1O=\frac{\sqrt{3}}{4}m^2\cdot \frac{m}{\sqrt{3}}\tan\varphi=\frac{m^3}{4}\tan\varphi.$$

Ответ: $$V=\frac{m^3}{4}\tan\varphi.$$