Упр.471 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием призмы ABCA1B1C1 является равносторонний треугольник ABC со стороной т. Вершина A1 проектируется в центр этого основания, а ребро AA1 составляет с плоскостью основания угол ф. Найдите объем призмы.

Подробный ответ

Пусть сторона равностороннего основания $$ABC$$ равна $$m$$. Тогда точка $$O$$ — центр треугольника $$ABC$$, а отрезок $$A_1O$$ является высотой призмы.

Найдём расстояние от вершины $$A$$ до центра $$O$$. В равностороннем треугольнике медиана, высота и биссектриса совпадают, поэтому

$$ AH=\frac{\sqrt{3}}{2}m $$

и так как центр делит медиану в отношении $$2:1$$, то

$$ AO=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}m=\frac{m}{\sqrt{3}}. $$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AA_1O$$. По условию угол между ребром $$AA_1$$ и плоскостью основания равен $$\varphi$$, значит

$$ \tan\varphi=\frac{A_1O}{AO}, $$

откуда

$$ A_1O=AO\cdot \tan\varphi=\frac{m}{\sqrt{3}}\tan\varphi. $$

Площадь основания равностороннего треугольника:

$$ S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}m^2. $$

Тогда объём призмы равен

$$ V=S_{ABC}\cdot A_1O=\frac{\sqrt{3}}{4}m^2\cdot \frac{m}{\sqrt{3}}\tan\varphi=\frac{m^3}{4}\tan\varphi. $$