Упр.470 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите объём наклонной призмы $$ABCA_1B_1C_1$$, если $$AB=BC=CA=a$$, $$ABB_1A_1$$ — ромб, $$AB_1

Подробный ответ

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$B_1$$ на плоскость $$ABC$$. Тогда $$B_1H$$ — высота призмы, а основание призмы $$ABC$$ — равносторонний треугольник со стороной $$a$$.

Следовательно,

$$S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2.$$

Объём призмы равен

$$V=S_{ABC}\cdot B_1H.$$

Найдём $$B_1H$$. Рассмотрим треугольник $$ABB_1$$. Так как $$ABB_1A_1$$ — ромб, то

$$AB=BB_1=a,\qquad AB_1=b.$$

Пусть $$K$$ — основание перпендикуляра из точки $$B_1$$ на прямую $$AB$$. Тогда $$B_1K\perp AB$$, а из условия о прямом двугранном угле с ребром $$AB$$ следует, что $$B_1K\perp (ABC)$$, то есть $$B_1K=B_1H=h$$.

В прямоугольных треугольниках $$AB_1K$$ и $$BB_1K$$ имеем:

$$AK=\sqrt{b^2-h^2},\qquad KB=\sqrt{a^2-h^2}.$$

Так как $$AK+KB=AB=a$$, получаем

$$\sqrt{b^2-h^2}+\sqrt{a^2-h^2}=a.$$

Возведём в квадрат:

$$b^2-h^2+a^2-h^2+2\sqrt{(b^2-h^2)(a^2-h^2)}=a^2,$$

$$2\sqrt{(b^2-h^2)(a^2-h^2)}=2h^2-b^2.$$

После повторного возведения в квадрат получаем

$$4(b^2-h^2)(a^2-h^2)=(2h^2-b^2)^2,$$

откуда

$$h=\frac{b}{2a}\sqrt{4a^2-b^2}.$$

Тогда