Упр.470 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите объем наклонной призмы ABCAiB1Cl, если AB = BC = = CA = а, ABB1A1 — ромб, AB1 < BA1, AB1 = b, двугранный угол с ребром AB прямой.

Подробный ответ

Пусть $$H$$ — основание высоты, опущенной из точки $$B_1$$ на плоскость $$ABC$$. Тогда $$B_1H$$ — высота призмы, а основание призмы $$\triangle ABC$$ — равносторонний треугольник со стороной $$a$$, поэтому

$$S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2.$$

Следовательно, объём призмы равен

$$V=S_{ABC}\cdot B_1H=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\cdot B_1H.$$

Найдём $$B_1H$$. Рассмотрим треугольник $$ABB_1$$. По условию $$ABB_1A_1$$ — ромб, значит

$$AB=BB_1=a,\qquad AB_1=b.$$

Так как двугранный угол с ребром $$AB$$ прямой, то $$B_1H\perp AB$$, то есть $$H$$ — основание высоты треугольника $$ABB_1$$, опущенной на сторону $$AB$$.

Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABB_1$$ имеем

$$AH=\sqrt{a^2-B_1H^2},\qquad BH=\sqrt{a^2-B_1H^2}.$$

Поскольку $$AB_1=b$$, получаем

$$AB_1^2=AH^2+B_1H^2.$$

Удобнее воспользоваться формулой площади треугольника $$ABB_1$$ по формуле Герона. Его стороны равны $$a,\ a,\ b$$, поэтому

$$p=\frac{a+a+b}{2}=a+\frac{b}{2}.$$

Тогда

$$ S_{ABB_1}=\sqrt{p(p-a)(p-a)(p-b)} =\sqrt{\left(a+\frac{b}{2}\right)\left(\frac{b}{2}\right)\left(\frac{b}{2}\right)\left(a-\frac{b}{2}\right)} =\frac{b}{2}\sqrt{a^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2}. $$

С другой стороны,

$$S_{ABB_1}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot B_1H=\frac{1}{2}a\cdot B_1H.$$

Значит,

$$\frac{1}{2}a\cdot B_1H=\frac{b}{2}\sqrt{a^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2},$$

откуда

$$B_1H=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2}.$$

Подставим это в формулу объёма:

$$ V=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\cdot \frac{b}{a}\sqrt{a^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2} =\frac{\sqrt{3}}{4}ab\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}. $$

Преобразуем:

$$ V=\frac{ab}{8}\sqrt{12a^2-3b^2}. $$