Упр.47 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В пространственном четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD равны. Докажите, что прямые AB и CD образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков BC и AD.
Обозначим через $$E$$ середину отрезка $$BC$$, а через $$F$$ — середину отрезка $$AD$$. Проведём через точки $$E$$ и $$F$$ прямую $$EF$$.
Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$.
Так как $$E$$ — середина $$BC$$, то в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$EF$$, соединяющий середины двух сторон, параллелен третьей стороне, значит
$$EF \parallel AB,\qquad EF=\frac{AB}{2}.$$
Аналогично, так как $$F$$ — середина $$AD$$, в треугольнике $$ADC$$ получаем
$$EF \parallel CD,\qquad EF=\frac{CD}{2}.$$
По условию $$AB=CD$$, следовательно,
$$EF=\frac{AB}{2}=\frac{CD}{2}.$$
Значит, прямая $$EF$$ параллельна и прямой $$AB$$, и прямой $$CD$$. Тогда углы, которые прямые $$AB$$ и $$CD$$ образуют с прямой $$EF$$, равны как соответственные углы при параллельных прямых.
Итак, $$AB$$ и $$CD$$ образуют с прямой, проходящей через середины отрезков $$BC$$ и $$AD$$, равные углы.
