Упр.469 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите объем наклонной призмы, у которой основанием является треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см, а боковое ребро, равное 8 см, составляет с плоскостью основания угол в 60°.

Подробный ответ

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:

$$V=S_{\triangle ABC}\cdot h.$$

Основание — треугольник со сторонами $$10$$ см, $$10$$ см и $$12$$ см. Найдём его площадь по формуле Герона:

$$p=\frac{10+10+12}{2}=16,$$

$$S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-10)(p-10)(p-12)}=\sqrt{16\cdot 6\cdot 6\cdot 4}=\sqrt{(16\cdot 4)\cdot 36}=48\ \text{см}^2.$$

Боковое ребро призмы равно $$8$$ см и составляет с плоскостью основания угол $$60^\circ$$, значит высота призмы равна перпендикулярной составляющей этого ребра:

$$h=8\sin 60^\circ=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\ \text{см}.$$

Тогда

$$V=48\cdot 4\sqrt{3}=192\sqrt{3}\ \text{см}^3.$$