Упр.469 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите объём наклонной призмы, у которой основанием является треугольник со сторонами $$10\ \text{см}$$, $$10\ \text{см}$$ и $$12\ \text{см}$$, а боковое ребро, равное $$8\ \text{см}$$, составляет с плоскостью основания угол в $$60^\circ$$.

Подробный ответ

Обозначим через $$h$$ высоту призмы, то есть расстояние между плоскостями оснований.

Боковое ребро призмы равно $$8$$ см и составляет с плоскостью основания угол $$60^\circ$$, значит высота призмы равна перпендикулярной составляющей этого ребра:

$$h=8\sin 60^\circ=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{ см}.$$

Найдём площадь основания — треугольника со сторонами $$10$$ см, $$10$$ см и $$12$$ см. По формуле Герона:

$$p=\frac{10+10+12}{2}=16,$$
$$S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-10)(p-10)(p-12)} =\sqrt{16\cdot 6\cdot 6\cdot 4} =\sqrt{(16\cdot 4)\cdot 36} =48\text{ см}^2.$$

Тогда объём призмы:

$$V=S_{\text{основания}}\cdot h=48\cdot 4\sqrt{3}=192\sqrt{3}\text{ см}^3.$$

Ответ: $$192\sqrt{3}\text{ см}^3$$.