Упр.468 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Фигура, заштрихованная на рисунке 191, вращается вокруг оси Oy. Найдите объем полученного тела.

При вращении заштрихованной фигуры вокруг оси $$Oy$$ получаем тело, объём которого удобно найти по формуле объёма тела вращения:

$$V=\pi\int\limits_a^b x^2\,dy$$

Но здесь проще перейти к симметричной относительно прямой $$x=y$$ фигуре. Тогда вместо функции $$y=\sqrt{x}$$ рассматриваем обратную ей функцию $$y=x^2$$ на отрезке $$[0;1]$$.

Тогда объём равен

$$V=\pi\int\limits_0^1 (x^2)^2\,dx=\pi\int\limits_0^1 x^4\,dx$$

$$V=\pi\left[\frac{x^5}{5}\right]\limits_0^1=\pi\cdot\frac{1}{5}=\frac{\pi}{5}$$

Ответ

$$\frac{\pi}{5}$$