Упр.467 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Фигура, заштрихованная на рисунке 190, вращается вокруг оси $$Ox$$. Найдите объем полученного тела.

При вращении заштрихованной фигуры вокруг оси $$Ox$$ получаем тело, объём которого находим по формуле

$$V=\int_a^b S(x)\,dx,$$

где $$S(x)$$ — площадь поперечного сечения, перпендикулярного оси $$Ox$$.

В данном случае верхняя граница фигуры задаётся графиком $$y=\sqrt{x}$$, поэтому

$$S(x)=\pi y^2=\pi(\sqrt{x})^2=\pi x.$$

Тогда

$$V=\int_0^1 \pi x\,dx =\pi\int_0^1 x\,dx =\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 =\pi\cdot\frac{1}{2} =\frac{\pi}{2}.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{2}$$.