Упр.466 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Сечение тела, изображённого на рисунке 189, плоскостью, перпендикулярной к оси $$Ox$$ и проходящей через точку с абсциссой $$x$$, является квадратом, сторона которого равна —. Найдите объём этого тела.

Площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси $$Ox$$ и проходящей через точку с абсциссой $$x$$, равна площади квадрата со стороной $$\frac{1}{x}$$:

$$S(x)=\left(\frac{1}{x}\right)^2=\frac{1}{x^2}.$$

Объём тела найдём по формуле:

$$V=\int\limits_{1}^{2} S(x)\,dx=\int\limits_{1}^{2}\frac{1}{x^2}\,dx=\int\limits_{1}^{2}x^{-2}\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$V=\left.-x^{-1}\right|_{1}^{2} =\left.-\frac{1}{x}\right|_{1}^{2} =-\frac{1}{2}-\left(-1\right) =\frac{1}{2}.$$

Ответ: $$\frac{1}{2}$$.