Упр.466 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Сечение тела, изображенного на рисунке 189, плоскостью, перпендикулярной к оси Ox и проходящей через точку с абсциссой x, является квадратом, сторона которого равна —. Найдите объем этого тела.

Площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси $$Ox$$ и проходящей через точку с абсциссой $$x$$, равна площади квадрата со стороной $$\frac{1}{x}$$:

$$S(x)=\left(\frac{1}{x}\right)^2=x^{-2}.$$

Объём тела найдём по формуле:

$$V=\int\limits_{1}^{2} S(x)\,dx=\int\limits_{1}^{2} x^{-2}\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$ V=\int\limits_{1}^{2} x^{-2}\,dx =\left(-x^{-1}\right)\Bigg|_{1}^{2} =-\frac{1}{2}-\left(-1\right) =\frac{1}{2}. $$

Ответ

$$\frac{1}{2}$$