Упр.465 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему углом а. Найдите объем цилиндра, если высота призмы равна h.

Подробный ответ

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

$$V=\pi r^2h.$$

Найдём радиус основания цилиндра. Основание вписанной призмы — прямоугольный треугольник, значит его гипотенуза является диаметром окружности, описанной около этого треугольника.

Если катет равен $$a$$, а прилежащий к нему угол равен $$\alpha$$, то для гипотенузы получаем:

$$\cos\alpha=\frac{a}{AB},$$

откуда

$$AB=\frac{a}{\cos\alpha}.$$

Так как $$AB$$ — диаметр основания цилиндра, то

$$r=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2\cos\alpha}.$$

Подставим это в формулу объёма:

$$ V=\pi r^2h =\pi\left(\frac{a}{2\cos\alpha}\right)^2h =\frac{\pi a^2h}{4\cos^2\alpha}. $$