Упр.465 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом $$a$$ и прилежащим к нему углом $$\alpha$$. Найдите объём цилиндра, если высота призмы равна $$h$$.

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра. Тогда объём цилиндра равен

$$V=\pi r^2h.$$

Основание вписанной призмы — прямоугольный треугольник. Его гипотенуза является диаметром окружности основания цилиндра. Если катет равен $$a$$ и прилежащий к нему угол равен $$\alpha$$, то

$$\cos\alpha=\frac{a}{AB},$$

где $$AB$$ — гипотенуза треугольника. Значит,

$$AB=\frac{a}{\cos\alpha}.$$

Так как $$AB=2r$$, получаем

$$2r=\frac{a}{\cos\alpha}, \qquad r=\frac{a}{2\cos\alpha}.$$

Подставим это в формулу объёма:

$$V=\pi r^2h=\pi\left(\frac{a}{2\cos\alpha}\right)^2h=\frac{\pi a^2h}{4\cos^2\alpha}.$$

Ответ: $$V=\frac{\pi a^2h}{4\cos^2\alpha}.$$