Упр.464 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B цилиндр вписана правильная л-угольная призма. Найдите отношение объемов призмы и цилиндра, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6; г) n = 8; д) n — произвольное целое число.

Так как призма вписана в цилиндр, то их высоты равны, поэтому

$$\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}}=\frac{S_{\text{осн. призмы}}}{S_{\text{осн. цилиндра}}}.$$

Основание цилиндра — окружность радиуса $$R$$, а основание призмы — правильный $$n$$-угольник, вписанный в эту окружность. Тогда

$$S_{\text{осн. призмы}}=\frac12 R^2 n\sin\frac{360^\circ}{n},$$

$$S_{\text{осн. цилиндра}}=\pi R^2.$$

Следовательно,

$$\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}}=\frac{\frac12 R^2 n\sin\frac{360^\circ}{n}}{\pi R^2}=\frac{n\sin\frac{360^\circ}{n}}{2\pi}.$$

Теперь подставим значения $$n$$.

а) При $$n=3$$:

$$\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}}=\frac{3\sin120^\circ}{2\pi}=\frac{3\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2\pi}=\frac{3\sqrt3}{4\pi}.$$

б) При $$n=4$$:

$$\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}}=\frac{4\sin90^\circ}{2\pi}=\frac{2}{\pi}.$$

в) При $$n=6$$:

$$\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}}=\frac{6\sin60^\circ}{2\pi}=\frac{6\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2\pi}=\frac{3\sqrt3}{2\pi}.$$

г) При $$n=8$$:

$$\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}}=\frac{8\sin45^\circ}{2\pi}=\frac{8\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{2\pi}=\frac{2\sqrt2}{\pi}.$$

д) Для произвольного целого $$n$$:

$$\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}}=\frac{n\sin\frac{360^\circ}{n}}{2\pi}.$$

Ответ

а) $$\frac{3\sqrt3}{4\pi}$$; б) $$\frac{2}{\pi}$$; в) $$\frac{3\sqrt3}{2\pi}$$; г) $$\frac{2\sqrt2}{\pi}$$; д) $$\frac{n\sin\frac{360^\circ}{n}}{2\pi}$$.