Упр.464 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В цилиндр вписана правильная $$n$$-угольная призма. Найдите отношение объёмов призмы и цилиндра, если: а) $$n=3$$; б) $$n=4$$; в) $$n=6$$; г) $$n=8$$; д) $$n$$ — произвольное целое число.
Пусть высота призмы равна $$h$$, а радиус основания цилиндра — $$R$$. Тогда
$$\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{S_{\text{призмы}}\cdot h}{S_{\text{цилиндра}}\cdot h} = \frac{S_{\text{призмы}}}{S_{\text{цилиндра}}}.$$
Основание призмы — правильный $$n$$-угольник, вписанный в окружность радиуса $$R$$. Его площадь равна
$$S_{\text{призмы}}=\frac12 R^2 n\sin\frac{360^\circ}{n}.$$
Площадь основания цилиндра:
$$S_{\text{цилиндра}}=\pi R^2.$$
Значит,
$$\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{\frac12 R^2 n\sin\frac{360^\circ}{n}}{\pi R^2} = \frac{n\sin\frac{360^\circ}{n}}{2\pi}.$$
Теперь подставим значения $$n$$:
$$\text{а) } n=3:\quad \frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{3\sin120^\circ}{2\pi} = \frac{3\sqrt3}{4\pi}.$$
$$\text{б) } n=4:\quad \frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{4\sin90^\circ}{2\pi} = \frac{2}{\pi}.$$
$$\text{в) } n=6:\quad \frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{6\sin60^\circ}{2\pi} = \frac{3\sqrt3}{2\pi}.$$
$$\text{г) } n=8:\quad \frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{8\sin45^\circ}{2\pi} = \frac{2\sqrt2}{\pi}.$$
$$\text{д) для произвольного } n:\quad \frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{n\sin\frac{360^\circ}{n}}{2\pi}.$$
Ответ: а) $$\frac{3\sqrt3}{4\pi}$$; б) $$\frac{2}{\pi}$$; в) $$\frac{3\sqrt3}{2\pi}$$; г) $$\frac{2\sqrt2}{\pi}$$; д) $$\frac{n\sin\frac{360^\circ}{n}}{2\pi}$$.
