Упр.46 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямая $$m$$ параллельна диагонали $$BD$$ ромба $$ABCD$$ и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что: а) $$m$$ и $$AC$$ — скрещивающиеся прямые — и найдите угол между ними; б) $$m$$ и $$AD$$ — скрещивающиеся прямые — и найдите угол между ними, если $$\angle ABC=128^\circ$$.

Пусть $$O=AC\cap BD$$. Так как в ромбе диагонали пересекаются и делят друг друга пополам, то точка $$O$$ лежит в плоскости ромба, а прямая $$m$$ параллельна $$BD$$ и не лежит в этой плоскости.

а)

Прямая $$AC$$ пересекает плоскость ромба в точке $$O$$, причём $$O\notin m$$. Следовательно, прямые $$m$$ и $$AC$$ не пересекаются и не лежат в одной плоскости, то есть они скрещивающиеся.

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между прямой, параллельной одной из них, и другой прямой. Так как $$m\parallel BD$$, то

$$\angle(m,AC)=\angle(BD,AC).$$

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, значит

$$\angle(BD,AC)=90^\circ.$$

б)

Прямая $$AD$$ пересекает плоскость ромба в точке $$D$$, причём $$D\notin m$$. Значит, $$m$$ и $$AD$$ — скрещивающиеся прямые.

Угол между $$m$$ и $$AD$$ равен углу между $$BD$$ и $$AD$$, так как $$m\parallel BD$$:

$$\angle(m,AD)=\angle(BD,AD).$$

В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов. Поэтому

$$\angle BDA=\frac{1}{2}\angle CDA.$$

Так как в ромбе противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $$180^\circ$$, то

$$\angle ABC=128^\circ,$$

следовательно,

$$\angle CDA=128^\circ.$$

Тогда

$$\angle BDA=\frac{128^\circ}{2}=64^\circ.$$

Ответ: а) $$90^\circ$$; б) $$64^\circ$$.