Упр.458 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна $$8\text{ см}$$ и составляет с боковым ребром угол в $$30^\circ$$. Найдите объём призмы.
Обозначим через $$a$$ сторону основания призмы, а через $$h$$ её высоту. Тогда объём призмы
$$V=S_{\text{осн}}\cdot h.$$
Основание — правильный шестиугольник, поэтому его площадь равна
$$S_{\text{осн}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2.$$
Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы соединяет вершину нижнего основания с противоположной вершиной верхнего основания. Её проекция на основание — наибольшая диагональ правильного шестиугольника, то есть $$2a$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — диагональ призмы длиной $$8$$ см, а угол между этой диагональю и боковым ребром равен $$30^\circ$$. Тогда
$$h=8\cos 30^\circ=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3},$$
а проекция диагонали на основание равна
$$2a=8\sin 30^\circ=8\cdot \frac12=4,$$
откуда
$$a=2.$$
Теперь найдём площадь основания:
$$S_{\text{осн}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 2^2=6\sqrt{3}.$$
Тогда объём призмы
$$V=S_{\text{осн}}\cdot h=6\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}=6\cdot 4\cdot 3=72.$$
Ответ: $$72\text{ см}^3$$.
