Упр.457 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и противолежащую ей вершину верхнего основания проведено сечение, составляющее угол в 60° с плоскостью основания. Найдите объем призмы, если сторона основания равна а.

Подробный ответ

Обозначим высоту призмы через $$h$$. Тогда объём призмы равен

$$V=S_{\text{осн}} \cdot h.$$

Основание призмы — правильный треугольник со стороной $$a$$, значит

$$S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2.$$

Рассмотрим сечение, проходящее через сторону нижнего основания и противолежащую ей вершину верхнего основания. Пусть это сечение образует с плоскостью основания угол $$60^\circ$$. Тогда линейный угол двугранного угла равен $$60^\circ$$.

В правильной треугольной призме проекция вершины верхнего основания на плоскость основания попадает в центр соответствующей стороны, поэтому в основании получаем высоту равностороннего треугольника:

$$CH=\frac{\sqrt{3}}{2}a.$$

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой призмы и этой проекцией, имеем

$$\tan 60^\circ=\frac{h}{CH}.$$

Следовательно,

$$h=CH\cdot \tan 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot \sqrt{3}=\frac{3a}{2}.$$

Теперь найдём объём:

$$ V=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\cdot \frac{3a}{2} =\frac{3\sqrt{3}}{8}a^3. $$