Упр.457 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и противолежащую ей вершину верхнего основания проведено сечение, составляющее угол в $$60^\circ$$ с плоскостью основания. Найдите объём призмы, если сторона основания равна $$a$$.

Подробный ответ

Пусть $$ABC A_1B_1C_1$$ — правильная треугольная призма, $$AB=BC=CA=a$$. Тогда основание призмы — равносторонний треугольник, поэтому

$$S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2.$$

Объём призмы равен

$$V=S_{ABC}\cdot h,$$

где $$h$$ — высота призмы.

Рассмотрим сечение, проходящее через сторону $$AB$$ нижнего основания и вершину $$C_1$$ верхнего основания. Обозначим через $$H$$ точку пересечения этого сечения с ребром $$AB$$. Так как призма правильная, то $$C_1H$$ — высота в прямоугольном треугольнике, а угол между сечением и плоскостью основания равен $$60^\circ$$, значит

$$\angle C_1HC=60^\circ.$$

В равностороннем треугольнике $$ABC$$ медиана $$CH$$ является также высотой, поэтому

$$CH=\frac{\sqrt{3}}{2}a.$$

Из прямоугольного треугольника $$C_1HC$$ получаем

$$\tan 60^\circ=\frac{C_1C}{CH},$$

откуда

$$C_1C=CH\cdot \tan 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot \sqrt{3}=\frac{3a}{2}.$$

Следовательно, высота призмы

$$h=\frac{3a}{2}.$$

Тогда

$$V=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\cdot \frac{3a}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{8}a^3.$$