Упр.456 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите объем правильной л-угольной призмы, у которой каждое ребро равно а, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6; г) n = 8.
Объём правильной призмы равен произведению площади основания на высоту:
$$V=S_{\text{осн}}\cdot h.$$
Так как все рёбра призмы равны $$a$$, то высота призмы тоже равна $$a$$.
Основание — правильный $$n$$-угольник со стороной $$a$$. Разобьём его на $$n$$ равных треугольников с вершиной в центре. Тогда
$$S_{\text{осн}}=n\cdot S_{\triangle AOB}.$$
В треугольнике $$AOB$$:
$$S_{\triangle AOB}=\frac12\cdot AB\cdot OH.$$
Здесь $$AB=a$$, а $$OH$$ — апофема правильного многоугольника:
$$OH=\frac{a}{2}\ctg\frac{180^\circ}{n}.$$
Следовательно,
$$S_{\triangle AOB}=\frac12\cdot a\cdot \frac{a}{2}\ctg\frac{180^\circ}{n}=\frac{a^2}{4}\ctg\frac{180^\circ}{n}.$$
Тогда
$$S_{\text{осн}}=\frac{na^2}{4}\ctg\frac{180^\circ}{n},$$
и объём призмы равен
$$V=\frac{na^3}{4}\ctg\frac{180^\circ}{n}.$$
Теперь подставим значения $$n$$.
а) $$n=3$$:
$$V=\frac{3a^3}{4}\ctg 60^\circ=\frac{3a^3}{4\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{4}a^3.$$
б) $$n=4$$:
$$V=\frac{4a^3}{4}\ctg 45^\circ=a^3.$$
в) $$n=6$$:
$$V=\frac{6a^3}{4}\ctg 30^\circ=\frac{6a^3}{4}\cdot \sqrt3=\frac{3\sqrt3}{2}a^3.$$
г) $$n=8$$:
$$\ctg 22{,}5^\circ=\sqrt2+1,$$
поэтому
$$V=\frac{8a^3}{4}\ctg 22{,}5^\circ=2(\sqrt2+1)a^3.$$
Ответ
$$V_{n=3}=\frac{\sqrt3}{4}a^3,\quad V_{n=4}=a^3,\quad V_{n=6}=\frac{3\sqrt3}{2}a^3,\quad V_{n=8}=2(\sqrt2+1)a^3.$$