Упр.456 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите объём правильной $$n$$-угольной призмы, у которой каждое ребро равно $$a$$, если: а) $$n=3$$; б) $$n=4$$; в) $$n=6$$; г) $$n=8$$.
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:
$$V=S_{\text{осн}}\cdot h.$$
Так как призма правильная, её основание — правильный $$n$$-угольник со стороной $$a$$, а боковое ребро равно $$a$$, значит высота призмы тоже равна $$a$$.
Площадь правильного $$n$$-угольника можно найти как сумму площадей $$n$$ равных треугольников с вершиной в центре. Для одного такого треугольника:
$$S_{\triangle AOB}=\frac12\cdot AB\cdot OH.$$
Здесь $$AB=a$$, а
$$OH=\frac{a}{2}\ctg\frac{180^\circ}{n}.$$
Тогда
$$S_{\triangle AOB}=\frac12\cdot a\cdot \frac{a}{2}\ctg\frac{180^\circ}{n}=\frac{a^2}{4}\ctg\frac{180^\circ}{n}.$$
Следовательно,
$$S_{\text{осн}}=n\cdot S_{\triangle AOB}=\frac{na^2}{4}\ctg\frac{180^\circ}{n},$$
и потому
$$V=\frac{na^3}{4}\ctg\frac{180^\circ}{n}.$$
Теперь подставим значения $$n$$:
а) при $$n=3$$:
$$V=\frac{3a^3}{4}\ctg 60^\circ=\frac{3a^3}{4}\cdot\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{4}a^3.$$
б) при $$n=4$$:
$$V=\frac{4a^3}{4}\ctg 45^\circ=a^3.$$
в) при $$n=6$$:
$$V=\frac{6a^3}{4}\ctg 30^\circ=\frac{6a^3}{4}\cdot\sqrt3=\frac{3\sqrt3}{2}a^3.$$
г) при $$n=8$$:
$$\ctg 22{,}5^\circ=\sqrt2+1,$$
поэтому
$$V=\frac{8a^3}{4}\ctg 22{,}5^\circ=2(\sqrt2+1)a^3.$$
Ответ: $$V_{n=3}=\frac{\sqrt3}{4}a^3,\quad V_{n=4}=a^3,\quad V_{n=6}=\frac{3\sqrt3}{2}a^3,\quad V_{n=8}=2(\sqrt2+1)a^3.$$
