Упр.455 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием прямой призмы является параллелограмм. Через сторону основания, равную а, и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение, составляющее угол P с плоскостью основания. Площадь сечения равна Q. Найдите объем данной призмы.

Обозначим основание призмы через $$ABCD$$, а верхнее основание — через $$A_1B_1C_1D_1$$. Так как призма прямая, то $$AA_1 \perp (ABCD)$$, а боковые рёбра равны и параллельны.

Плоскость сечения проходит через сторону основания длины $$a$$ и противолежащую ей сторону другого основания. Сечение — параллелограмм, одна его сторона равна $$a$$, а площадь равна $$Q$$.

Пусть $$h$$ — высота призмы. Тогда объём призмы равен

$$V=S_{\text{осн}} \cdot h.$$

Основание — параллелограмм, поэтому его площадь можно выразить через сторону $$a$$ и высоту к ней:

$$S_{\text{осн}}=a\cdot h_{\text{осн}}.$$

Рассмотрим сечение, проходящее через сторону длины $$a$$ и соответствующую сторону верхнего основания. Его площадь равна

$$Q=a\cdot l,$$

где $$l$$ — длина второй стороны сечения.

Так как эта сторона образует с плоскостью основания угол $$\beta$$, то

$$h=l\sin\beta,$$

а проекция этой стороны на плоскость основания равна

$$h_{\text{осн}}=l\cos\beta.$$

Из формулы площади сечения получаем

$$l=\frac{Q}{a}.$$

Тогда

$$h=\frac{Q}{a}\sin\beta,$$

$$h_{\text{осн}}=\frac{Q}{a}\cos\beta.$$

Следовательно, площадь основания призмы:

$$S_{\text{осн}}=a\cdot \frac{Q}{a}\cos\beta=Q\cos\beta.$$

И объём призмы равен

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h=Q\cos\beta\cdot \frac{Q}{a}\sin\beta=\frac{Q^2\cos\beta\sin\beta}{a}.$$

Ответ

$$V=\frac{Q^2\cos\beta\sin\beta}{a}$$