Упр.455 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием прямой призмы является параллелограмм. Через сторону основания, равную $$a$$, и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение, составляющее угол $$P$$ с плоскостью основания. Площадь сечения равна $$Q$$. Найдите объём данной призмы.
Обозначим высоту призмы через $$h$$. Тогда
$$V=S_{\text{осн}}\cdot h.$$
Основание призмы — параллелограмм, значит его площадь можно найти как
$$S_{\text{осн}}=a\cdot h_{\text{осн}},$$
где $$h_{\text{осн}}$$ — высота параллелограмма к стороне $$a$$.
Рассмотрим сечение, проходящее через сторону основания длины $$a$$ и противолежащую ей сторону другого основания. Это сечение — параллелограмм, площадь которого равна $$Q$$. Его сторона, равная $$a$$, лежит в плоскости основания, а другая сторона образует с плоскостью основания угол $$\beta$$.
Пусть $$l$$ — длина боковой стороны сечения. Тогда высота этого параллелограмма к стороне $$a$$ равна $$l\sin\beta$$, поэтому
$$Q=a\cdot l\sin\beta.$$
Отсюда
$$l=\frac{Q}{a\sin\beta}.$$
Высота призмы равна перпендикулярной составляющей этой боковой стороны:
$$h=l\cos\beta=\frac{Q}{a\sin\beta}\cos\beta.$$
Теперь найдём площадь основания. Высота параллелограмма к стороне $$a$$ равна горизонтальной составляющей той же боковой стороны:
$$h_{\text{осн}}=l\sin\beta=\frac{Q}{a}.$$
Тогда
$$S_{\text{осн}}=a\cdot \frac{Q}{a}=Q.$$
Следовательно, объём призмы:
$$V=S_{\text{осн}}\cdot h =Q\cdot \frac{Q}{a\sin\beta}\cos\beta =\frac{Q^2\cos\beta}{a\sin\beta}.$$
Ответ: $$\frac{Q^2\cos\beta}{a\sin\beta}$$.
