Упр.454 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите объём прямой призмы $$ABCA_1B_1C_1$$, если $$AB=BC$$, $$\angle ABC=\alpha$$, диагональ $$A_1C$$ равна $$1$$ и составляет с плоскостью основания угол $$\beta$$.

Подробный ответ

Пусть $$A_1C=l$$, $$\angle CA_1C=\beta$$, $$\angle ABC=\alpha$$. Тогда объём призмы равен

$$V=S_{ABC}\cdot AA_1.$$

Так как призма прямая, то $$AA_1\perp (ABC)$$, а проекция отрезка $$A_1C$$ на плоскость основания — это отрезок $$AC$$. Поэтому в прямоугольном треугольнике $$ACA_1$$ имеем

$$AC=l\cos\beta,\qquad AA_1=l\sin\beta.$$

Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, так как $$AB=BC$$. Значит, высота $$BD$$, проведённая к основанию $$AC$$, является также медианой, поэтому

$$AD=\frac{AC}{2}=\frac{l\cos\beta}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABD$$

$$\angle ABD=\frac{\alpha}{2},$$

откуда

$$BD=AD\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{l\cos\beta}{2}\ctg\frac{\alpha}{2}.$$

Теперь найдём площадь основания:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot l\cos\beta\cdot \frac{l\cos\beta}{2}\ctg\frac{\alpha}{2}.$$

Следовательно,

$$V=S_{ABC}\cdot AA_1=\frac{1}{2}\cdot l\cos\beta\cdot \frac{l\cos\beta}{2}\ctg\frac{\alpha}{2}\cdot l\sin\beta.$$

Упростим: