Упр.453 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите объём прямой призмы $$ABCA_1B_1C_1$$, если $$AB=BC=m$$, $$\angle ABC=\varphi$$ и $$BB_1=BD$$, где $$BD$$ — высота треугольника $$ABC$$.

Подробный ответ

Так как $$AB=BC=m,$$ то треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC.$$ Высота $$BD,$$ проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой и биссектрисой. Поэтому

$$\angle ABD=\frac{\varphi}{2}, \qquad BD=AB\cos\frac{\varphi}{2}=m\cos\frac{\varphi}{2}.$$

Кроме того,

$$AC=2AD=2AB\sin\frac{\varphi}{2}=2m\sin\frac{\varphi}{2}.$$

Площадь основания призмы равна

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BD=\frac12\cdot 2m\sin\frac{\varphi}{2}\cdot m\cos\frac{\varphi}{2}=m^2\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}.$$

Высота прямой призмы равна $$BB_1,$$ а по условию $$BB_1=BD=m\cos\frac{\varphi}{2}.$$ Тогда объём призмы:

$$V=S_{ABC}\cdot BB_1=m^2\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}\cdot m\cos\frac{\varphi}{2}.$$

Следовательно,

$$V=m^3\sin\frac{\varphi}{2}\cos^2\frac{\varphi}{2}.$$