Упр.452 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите объём прямой призмы $$ABCA_1B_1C_1$$, если: а) $$\angle BAC=120^\circ$$, $$AB=5\ \text{см}$$, $$AC=3\ \text{см}$$ и наибольшая из площадей боковых граней равна $$35\ \text{см}^2$$; б) $$\angle AB_1C=60^\circ$$, $$AB_1=3$$, $$CB_1=2$$ и двугранный угол с ребром $$BB_1$$ прямой.

Подробный ответ

а) В прямой призме боковые грани — прямоугольники, поэтому их площади равны произведениям стороны основания на высоту призмы. Наибольшая боковая грань лежит против наибольшей стороны основания. Так как в треугольнике $$ABC$$ против большего угла лежит большая сторона, то наибольшая боковая грань — $$BCC_1B_1$$, значит

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle BAC$$
$$BC^2=5^2+3^2-2\cdot 5\cdot 3\cdot \cos 120^\circ=25+9+15=49,$$
$$BC=7.$$

Площадь этой боковой грани равна $$35\text{ см}^2$$, значит высота призмы

$$h=\frac{35}{BC}=\frac{35}{7}=5\text{ см}.$$

Тогда объём призмы:

$$V=S_{ABC}\cdot h=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot \sin \angle BAC\cdot h$$
$$V=\frac12\cdot 5\cdot 3\cdot \sin 120^\circ \cdot 5 =\frac12\cdot 5\cdot 3\cdot \frac{\sqrt3}{2}\cdot 5 =\frac{75\sqrt3}{4}\text{ см}^3.$$

б) По теореме косинусов из треугольника $$AB_1C$$:

$$AC^2=AB_1^2+CB_1^2-2\cdot AB_1\cdot CB_1\cdot \cos \angle AB_1C$$
$$AC^2=3^2+2^2-2\cdot 3\cdot 2\cdot \cos 60^\circ=9+4-6=7,$$
$$AC=\sqrt7.$$

Так как двугранный угол с ребром $$BB_1$$ прямой, то $$AB\perp BB_1$$ и $$BC\perp BB_1$$. Следовательно, треугольники $$ABB_1$$ и $$CBB_1$$ прямоугольные:

$$AB^2+BB_1^2=AB_1^2=9,$$
$$BC^2+BB_1^2=CB_1^2=4.$$

Кроме того, в прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

$$AB^2+BC^2=AC^2=7.$$

Обозначим $$AB=x$$, $$BC=y$$, $$BB_1=z$$. Тогда

$$x^2+y^2=7,$$
$$x^2+z^2=9,$$
$$y^2+z^2=4.$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$y^2-z^2=-2.$$

Решая систему, получаем:

$$x^2=6,\quad y^2=1,\quad z^2=3,$$
$$AB=\sqrt6,\quad BC=1,\quad BB_1=\sqrt3.$$

Тогда

$$V=S_{ABC}\cdot BB_1=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot BB_1 =\frac12\cdot \sqrt6\cdot 1\cdot \sqrt3 =\frac{3\sqrt2}{2}\text{ см}^3.$$

Ответ: а) $$\frac{75\sqrt3}{4}\text{ см}^3$$; б) $$\frac{3\sqrt2}{2}\text{ см}^3$$.