Упр.452 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите объем прямой призмы ABCAlBlCi, если: а) ZBAC = 120°, AB = 5 см, AC = 3 см и наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2; б) ZABiC = 60°, AB1 = 3, CBi = 2 и двугранный утол с ребром BBi прямой.

Подробный ответ

а) В прямой призме боковые грани — прямоугольники, их площади равны произведению стороны основания на высоту призмы. Наибольшая боковая грань лежит против наибольшей стороны основания. В треугольнике $$ABC$$ большему углу противолежит большая сторона, значит наибольшая боковая грань — $$BCC_1B_1$$, а её площадь равна $$35\text{ см}^2$$.

Найдём $$BC$$ по теореме косинусов в $$\triangle ABC$$:

$$ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle BAC $$
$$ BC^2=5^2+3^2-2\cdot 5\cdot 3\cdot \cos 120^\circ =25+9-30\cdot\left(-\frac12\right)=49 $$
$$ BC=7. $$

Тогда высота призмы:

$$ S_{BCC_1B_1}=BC\cdot h=35 $$
$$ 7h=35,\quad h=5\text{ см}. $$

Площадь основания:

$$ S_{ABC}=\frac12 AB\cdot AC\cdot \sin \angle BAC =\frac12\cdot 5\cdot 3\cdot \sin 120^\circ =\frac12\cdot 15\cdot \frac{\sqrt3}{2} =\frac{15\sqrt3}{4}. $$

Объём призмы:

$$ V=S_{ABC}\cdot h=\frac{15\sqrt3}{4}\cdot 5=\frac{75\sqrt3}{4}\text{ см}^3. $$

б) Так как двугранный угол с ребром $$BB_1$$ прямой, то $$BB_1\perp AB$$ и $$BB_1\perp BC$$, следовательно, $$BB_1\perp (ABC)$$. Значит, $$BB_1$$ — высота призмы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AB_1C$$. По теореме косинусов:

$$ AC^2=AB_1^2+CB_1^2-2\cdot AB_1\cdot CB_1\cdot \cos \angle AB_1C $$
$$ AC^2=3^2+2^2-2\cdot 3\cdot 2\cdot \cos 60^\circ =9+4-12\cdot \frac12=7, $$
$$ AC=\sqrt7. $$

Обозначим $$AB=x$$, $$BC=y$$, $$BB_1=h$$. Тогда из прямоугольных треугольников:

$$ AB_1^2=AB^2+BB_1^2 \Rightarrow x^2+h^2=9, $$
$$ CB_1^2=BC^2+BB_1^2 \Rightarrow y^2+h^2=4, $$
$$ AC^2=AB^2+BC^2 \Rightarrow x^2+y^2=7. $$

Сложим первые два равенства и вычтем третье:

$$ (x^2+h^2)+(y^2+h^2)-(x^2+y^2)=9+4-7 $$
$$ 2h^2=6,\quad h^2=3,\quad h=\sqrt3. $$

Тогда

$$ x^2=9-3=6,\quad y^2=4-3=1, $$
$$ AB=\sqrt6,\quad BC=1. $$

Площадь основания:

$$ S_{ABC}=\frac12 AB\cdot BC=\frac12\cdot \sqrt6\cdot 1=\frac{\sqrt6}{2}. $$

Объём призмы:

$$ V=S_{ABC}\cdot BB_1=\frac{\sqrt6}{2}\cdot \sqrt3=\frac{\sqrt{18}}{2}=\frac{3\sqrt2}{2}\text{ см}^3. $$