Упр.450 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если: а) ACi = 1 м > ZC1AC = 45°, ZC1AB = 60°; б) AC1 = 24 см, ZC1AA1 = 45°, диагональ AC1 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани.

Подробный ответ

Объём прямоугольного параллелепипеда равен

$$V=abc,$$

где $$a=AA_1,$$ $$b=AB,$$ $$c=BC.$$

а) Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACC_1.$$ По условию $$AC_1=1\text{ м},$$ $$\angle C_1AC=45^\circ,$$ значит

$$AA_1=AC_1\sin 45^\circ=1\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}\text{ м}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABC_1$$ имеем $$\angle C_1AB=60^\circ,$$ поэтому

$$AB=AC_1\cos 60^\circ=1\cdot \frac12=\frac12\text{ м}.$$

Теперь найдём третье ребро основания из прямоугольного треугольника $$ABC$$:

$$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}.$$

Так как $$AC$$ — диагональ основания, то

$$AC^2=AB^2+BC^2.$$

Из треугольника $$ACC_1$$:

$$AC=AC_1\cos 45^\circ=1\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}\text{ м}.$$

Тогда

$$BC=\sqrt{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2-\left(\frac12\right)^2}=\sqrt{\frac12-\frac14}=\frac12\text{ м}.$$

Следовательно,

$$V=AA_1\cdot AB\cdot BC=\frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac12\cdot \frac12=\frac{\sqrt2}{8}\text{ м}^3.$$

б) Пусть $$AA_1=a,$$ $$AB=b,$$ $$BC=c.$$ По условию $$AC_1=24\text{ см},$$ $$\angle C_1AA_1=45^\circ,$$ значит в прямоугольном треугольнике $$AA_1C_1$$

$$AA_1=AC_1\cos 45^\circ=24\cdot \frac{\sqrt2}{2}=12\sqrt2\text{ см},$$

$$AD=AC_1\sin 45^\circ=24\cdot \frac{\sqrt2}{2}=12\sqrt2\text{ см}.$$

Диагональ $$AC_1$$ составляет угол $$30^\circ$$ с плоскостью боковой грани, значит её проекция на эту плоскость равна

$$C_1D=AC_1\cos 30^\circ=24\cdot \frac{\sqrt3}{2}=12\sqrt3\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$C_1DC$$:

$$CD=\sqrt{C_1D^2-C_1C^2}.$$

Но $$C_1C=AA_1=12\sqrt2,$$ поэтому

$$CD=\sqrt{(12\sqrt3)^2-(12\sqrt2)^2}=\sqrt{432-288}=12\text{ см}.$$

Тогда объём параллелепипеда:

$$V=AA_1\cdot AD\cdot CD=12\sqrt2\cdot 12\sqrt2\cdot 12=3456\text{ см}^3.$$