Упр.450 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Найдите объём прямоугольного параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, если:
а) $$AC_1=1\text{ м}$$, $$\angle C_1AC=45^\circ$$, $$\angle C_1AB=60^\circ$$;
б) $$AC_1=24\text{ см}$$, $$\angle C_1AA_1=45^\circ$$, диагональ $$AC_1$$ составляет угол $$30^\circ$$ с плоскостью боковой грани.
Объём прямоугольного параллелепипеда равен $$V=abc,$$ где $$a=AB,$$ $$b=BC,$$ $$h=AA_1.$$
а)
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACC_1.$$ По условию $$AC_1=1\text{ м},\ \angle C_1AC=45^\circ,$$ значит
$$h=CC_1=AC_1\sin 45^\circ=1\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}\text{ м}.$$
В треугольнике $$ACC_1$$ также
$$AC=AC_1\cos 45^\circ=1\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}\text{ м}.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC.$$ Так как $$\angle C_1AB=60^\circ,$$ то
$$AB=AC_1\cos 60^\circ=1\cdot \frac12=\frac12\text{ м}.$$
По теореме Пифагора в треугольнике $$ABC$$:
$$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2-\left(\frac12\right)^2} =\sqrt{\frac12-\frac14}=\frac12\text{ м}.$$
Тогда
$$V=AB\cdot BC\cdot AA_1=\frac12\cdot \frac12\cdot \frac{\sqrt2}{2} =\frac{\sqrt2}{8}\text{ м}^3.$$
б)
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AA_1C_1.$$ По условию $$AC_1=24\text{ см},\ \angle C_1AA_1=45^\circ,$$ поэтому
$$AA_1=AC_1\cos 45^\circ=24\cdot \frac{\sqrt2}{2}=12\sqrt2\text{ см}.$$
В этом же треугольнике
$$A_1C_1=AC_1\sin 45^\circ=24\cdot \frac{\sqrt2}{2}=12\sqrt2\text{ см}.$$
Диагональ $$AC_1$$ составляет угол $$30^\circ$$ с плоскостью боковой грани, значит её проекция на эту плоскость равна
$$AD=AC_1\cos 30^\circ=24\cdot \frac{\sqrt3}{2}=12\sqrt3\text{ см}.$$
В прямоугольном треугольнике $$C_1DC$$:
$$CD=\sqrt{C_1D^2-C_1C^2}=\sqrt{(12\sqrt3)^2-(12\sqrt2)^2} =\sqrt{432-288}=12\text{ см}.$$
Следовательно, стороны основания равны $$AB=CD=12\text{ см},$$ а высота параллелепипеда
$$AA_1=12\sqrt2\text{ см}.$$
Тогда
$$V=AB\cdot BC\cdot AA_1=12\cdot 12\cdot 12\sqrt2=1728\sqrt2\text{ см}^3.$$
Ответ
а) $$\frac{\sqrt2}{8}\text{ м}^3$$; б) $$1728\sqrt2\text{ см}^3$$.
