Упр.45 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Прямая $$a$$ параллельна стороне $$BC$$ параллелограмма $$ABCD$$ и не лежит в плоскости параллелограмма. Докажите, что $$a$$ и $$CD$$ — скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если один из углов параллелограмма равен: а) $$50^\circ$$; б) $$121^\circ$$.

Подробный ответ

Пусть плоскость параллелограмма $$ABCD$$ обозначена через $$\alpha$$. Тогда $$BC \subset \alpha$$, а прямая $$a$$ параллельна прямой $$BC$$ и не лежит в плоскости $$\alpha$$.

Если бы прямые $$a$$ и $$CD$$ пересекались или были параллельны, то они лежали бы в одной плоскости. Но прямая $$a$$ лежит в плоскости, содержащей $$BC$$, а прямая $$CD$$ пересекает эту плоскость в точке $$C$$ и не проходит через точку пересечения с $$a$$. Значит, прямые $$a$$ и $$CD$$ не пересекаются и не параллельны, то есть они скрещивающиеся.

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между прямой $$CD$$ и прямой, параллельной $$a$$ и проходящей через точку $$C$$. Так как $$a \parallel BC$$, то искомый угол равен углу между $$CD$$ и $$BC$$, то есть углу $$\angle BCD$$ параллелограмма.

В параллелограмме соседние углы в сумме дают $$180^\circ$$, поэтому:

если один из углов параллелограмма равен $$50^\circ$$, то угол между $$a$$ и $$CD$$ равен $$50^\circ$$;
если один из углов параллелограмма равен $$121^\circ$$, то смежный с ним угол равен $$180^\circ-121^\circ=59^\circ$$, значит угол между $$a$$ и $$CD$$ равен $$59^\circ$$.

Ответ: а) $$50^\circ$$; б) $$59^\circ$$.