Упр.449 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ диагональ $$B_1D$$ составляет с плоскостью основания угол в $$45^\circ$$, а двугранный угол $$A_1B_1BD$$ равен $$60^\circ$$. Найдите объём параллелепипеда, если диагональ основания равна $$12\ см$$.

Объём прямоугольного параллелепипеда равен

$$V=abc,$$

где $$a$$ и $$b$$ — стороны основания, $$c$$ — высота.

Пусть $$BD=12$$ см — диагональ основания. Тогда в прямоугольнике $$ABCD$$

$$AB=BD\cos 60^\circ=12\cdot \frac12=6,$$

$$AD=BD\sin 60^\circ=12\cdot \frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3.$$

Двугранный угол $$A_1B_1BD$$ равен $$60^\circ$$, значит линейный угол этого двугранного угла равен $$\angle ABD=60^\circ$$. В прямоугольном треугольнике $$BDB_1$$ имеем

$$B_1B=BD\tan 45^\circ=12\cdot 1=12.$$

Следовательно, высота параллелепипеда равна $$12$$ см, и

$$V=AB\cdot AD\cdot B_1B=6\cdot 6\sqrt3\cdot 12=432\sqrt3\ \text{см}^3.$$

Ответ: $$432\sqrt3\ \text{см}^3$$