Упр.449 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B прямоугольном параллелепипеде ABCDAlBlClDx диагональ BxD составляет с плоскостью основания угол в 45°, а двугранный угол AxB1BD равен 60°. Найдите объем параллелепипеда, если диагональ основания равна 12 см.

Подробный ответ

Объём прямоугольного параллелепипеда равен

$$V=abc= S_{\text{осн}} \cdot h.$$

Пусть $$AB=b,$$ $$AD=a,$$ $$AA_1=h.$$ Тогда диагональ основания $$BD=12$$ см.

Так как двугранный угол $$\angle A_1B_1BD=60^\circ,$$ то линейный угол этого двугранного угла равен $$\angle ABD=60^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABD$$:

$$a=BD\sin 60^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3},$$

$$b=BD\cos 60^\circ=12\cdot \frac{1}{2}=6.$$

Диагональ $$B_1D$$ образует с плоскостью основания угол $$45^\circ,$$ значит в прямоугольном треугольнике $$BB_1D$$

$$\tan 45^\circ=\frac{h}{BD},$$

откуда

$$h=BD\cdot \tan 45^\circ=12\cdot 1=12.$$