Упр.448 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $$a$$ и $$b$$. Диагональ параллелепипеда составляет с боковой гранью, содержащей сторону основания, равную $$b$$, угол в $$30^\circ$$. Найдите объем параллелепипеда.

Обозначим высоту параллелепипеда через $$h$$. Тогда его объём равен

$$V=abh.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда, диагональю основания и высотой. Пусть диагональ основания равна $$d$$. Тогда

$$d^2=a^2+b^2.$$

По условию диагональ параллелепипеда составляет с боковой гранью, содержащей сторону основания $$b$$, угол $$30^\circ$$. В прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — диагональ параллелепипеда, а один из катетов — диагональ основания $$d$$, имеем

$$\sin 30^\circ=\frac{h}{\sqrt{d^2+h^2}}.$$

Так как $$\sin 30^\circ=\frac12$$, то

$$\frac{h}{\sqrt{d^2+h^2}}=\frac12,$$

откуда

$$4h^2=d^2+h^2,$$

$$3h^2=d^2=a^2+b^2,$$

$$h=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{3}}.$$

Тогда

$$V=ab\sqrt{\frac{a^2+b^2}{3}}.$$

Ответ: $$V=ab\sqrt{\frac{a^2+b^2}{3}}$$.