Упр.447 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет угол $$a$$ с плоскостью боковой грани и угол $$P$$ с плоскостью основания. Найдите объём параллелепипеда, если его высота равна $$h$$.

Обозначим рёбра прямоугольного параллелепипеда через $$AB=a,$$ $$AD=b,$$ $$AA_1=h.$$ Тогда объём равен

$$V=abh.$$

Пусть диагональ $$AC_1$$ образует с плоскостью основания угол $$\beta,$$ а с плоскостью боковой грани — угол $$\alpha.$$

Из прямоугольного треугольника с проекцией диагонали на основание получаем:

$$\sin\beta=\frac{h}{AC_1}, \qquad AC_1=\frac{h}{\sin\beta}.$$

Проекция диагонали $$AC_1$$ на боковую грань имеет длину $$a,$$ поэтому

$$\sin\alpha=\frac{a}{AC_1}=\frac{a\sin\beta}{h},$$

откуда

$$a=\frac{h\sin\alpha}{\sin\beta}.$$

Теперь найдём $$b$$ из теоремы Пифагора для основания:

$$a^2+b^2=AC^2,$$

а так как $$AC$$ — проекция пространственной диагонали на основание, то

$$AC=AC_1\cos\beta=\frac{h\cos\beta}{\sin\beta}.$$

Следовательно,

$$b^2=\left(\frac{h\cos\beta}{\sin\beta}\right)^2-\left(\frac{h\sin\alpha}{\sin\beta}\right)^2 =\frac{h^2}{\sin^2\beta}\left(\cos^2\beta-\sin^2\alpha\right),$$

значит

$$b=\frac{h}{\sin\beta}\sqrt{\cos^2\beta-\sin^2\alpha}.$$

Тогда объём параллелепипеда:

$$V=abh =\frac{h\sin\alpha}{\sin\beta}\cdot \frac{h}{\sin\beta}\sqrt{\cos^2\beta-\sin^2\alpha}\cdot h.$$

Итак,

$$V=\frac{h^3\sin\alpha}{\sin^2\beta}\sqrt{\cos^2\beta-\sin^2\alpha}.$$