Упр.447 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет угол а с плоскостью боковой грани и угол P с плоскостью основания. Найдите объем параллелепипеда, если его высота равна h.

Обозначим рёбра прямоугольного параллелепипеда через $$a$$ и $$b$$, а высоту — через $$h$$. Тогда объём равен

$$V=abh.$$

Рассмотрим диагональ основания $$AC_1$$ и её проекции на плоскости. Из прямоугольного треугольника, образованного диагональю параллелепипеда и высотой, получаем:

$$\sin \beta=\frac{h}{AC_1}, \qquad AC_1=\frac{h}{\sin \beta}.$$

Так как угол $$\alpha$$ — это угол между диагональю и плоскостью боковой грани, то в соответствующем прямоугольном треугольнике

$$\sin \alpha=\frac{b}{AC_1}, \qquad b=AC_1\sin \alpha=\frac{h\sin \alpha}{\sin \beta}.$$

Теперь найдём второе ребро основания. По теореме Пифагора для диагонали основания:

$$a^2+b^2=AC^2.$$

Но из треугольника с углом $$\beta$$ имеем

$$AC=\frac{h}{\tan \beta}.$$

Тогда

$$a^2=\left(\frac{h}{\tan \beta}\right)^2-\left(\frac{h\sin \alpha}{\sin \beta}\right)^2.$$

Преобразуем:

$$ a=h\sqrt{\frac{1}{\tan^2\beta}-\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\beta}} =h\cdot \frac{\sqrt{\cos^2\beta-\sin^2\alpha}}{\sin\beta}. $$

Теперь вычислим объём:

$$ V=abh =\left(h\cdot \frac{\sqrt{\cos^2\beta-\sin^2\alpha}}{\sin\beta}\right) \left(\frac{h\sin\alpha}{\sin\beta}\right)h. $$

Следовательно,

$$V=\frac{h^3\sin\alpha}{\sin^2\beta}\sqrt{\cos^2\beta-\sin^2\alpha}.$$

Ответ

$$V=\frac{h^3\sin\alpha}{\sin^2\beta}\sqrt{\cos^2\beta-\sin^2\alpha}.$$