Упр.446 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани и угол в 45° с боковым ребром. Найдите объем параллелепипеда.
Обозначим рёбра прямоугольного параллелепипеда через $$a$$, $$b$$ и $$h$$. Тогда его объём равен
$$V=abh.$$
Диагональ параллелепипеда $$AC_1=18$$ см. По условию она образует угол $$30^\circ$$ с плоскостью боковой грани и угол $$45^\circ$$ с боковым ребром.
Рассмотрим проекцию диагонали $$AC_1$$ на плоскость боковой грани. Тогда
$$b=AC_1\sin 30^\circ=18\cdot \frac12=9.$$
Из угла между диагональю и боковым ребром получаем
$$h=AC_1\cos 45^\circ=18\cdot \frac{\sqrt2}{2}=9\sqrt2.$$
Теперь найдём третье ребро $$a$$ из теоремы Пифагора для пространственной диагонали:
$$AC_1^2=a^2+b^2+h^2.$$
Подставим найденные значения:
$$18^2=a^2+9^2+(9\sqrt2)^2,$$
$$324=a^2+81+162,$$
$$a^2=81,\qquad a=9.$$
Тогда
$$V=abh=9\cdot 9\cdot 9\sqrt2=729\sqrt2\ \text{см}^3.$$
Ответ: $$729\sqrt2\ \text{см}^3$$.
