Упр.445 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите объем прямоугольного параллелепипеда ABCDAtB1C1Dt, если AC1 = 13 см, BD = 12 см и BCt = 11 см.

Обозначим $$AB=a,$$ $$BC=b,$$ $$CC_1=h.$$ Тогда объём прямоугольного параллелепипеда равен

$$V=abh.$$

По теореме Пифагора для диагоналей граней и пространственной диагонали получаем:

$$ \begin{cases} a^2+b^2=BD^2=12^2=144,\\ b^2+h^2=BC_1^2=11^2=121,\\ a^2+b^2+h^2=AC_1^2=13^2=169. \end{cases} $$

Вычтем из третьего уравнения первое:

$$h^2=169-144=25,$$

значит, $$h=5.$$

Теперь из второго уравнения:

$$b^2=121-25=96,$$

откуда

$$b=\sqrt{96}=4\sqrt{6}.$$

Из первого уравнения:

$$a^2=144-96=48,$$

следовательно,

$$a=\sqrt{48}=4\sqrt{3}.$$

Тогда

$$ V=abh=4\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{6}\cdot 5 =80\sqrt{18} =240\sqrt{2}. $$

Ответ

$$240\sqrt{2}\ \text{см}^3$$