Упр.445 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Найдите объём прямоугольного параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, если $$AC_1=13\text{ см}$$, $$BD=12\text{ см}$$ и $$BC_1=11\text{ см}$$.

Обозначим $$AB=a,$$ $$BC=b,$$ $$AA_1=h.$$ Тогда объём прямоугольного параллелепипеда равен

$$V=abh.$$

По теореме Пифагора для пространственных диагоналей и рёбер получаем систему:

$$\begin{cases} a^2+b^2=BD^2=12^2=144,\\ b^2+h^2=BC_1^2=11^2=121,\\ a^2+b^2+h^2=AC_1^2=13^2=169. \end{cases}$$

Вычтем из третьего уравнения первое:

$$h^2=169-144=25,\qquad h=5.$$

Тогда из второго уравнения:

$$b^2=121-25=96,\qquad b=4\sqrt{6}.$$

Из первого уравнения:

$$a^2=144-96=48,\qquad a=4\sqrt{3}.$$

Теперь найдём объём:

$$V=abh=4\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{6}\cdot 5 =80\sqrt{18} =240\sqrt{2}\ \text{см}^3.$$

Ответ: $$240\sqrt{2}\ \text{см}^3$$