Упр.442 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите объем куба ABCDAtBlC1Dl, если: а) AC = 12 см; б) AC1 = 3 V2 м; в) DE = 1 см, где E — середина ребра AB.

Обозначим ребро куба через $$a$$. Тогда объём куба равен $$V=a^3$$.

а) Диагональ грани куба равна $$AC=a\sqrt{2}$$, значит

$$a=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}\ \text{см}.$$

Тогда

$$V=a^3=(6\sqrt{2})^3=216\cdot 2\sqrt{2}=432\sqrt{2}\ \text{см}^3.$$

б) Диагональ куба равна $$AC_1=a\sqrt{3}$$, поэтому

$$a=\frac{AC_1}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{6}\ \text{м}.$$

Следовательно,

$$V=a^3=(\sqrt{6})^3=6\sqrt{6}\ \text{м}^3.$$

в) Пусть $$E$$ — середина ребра $$AB$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$AED$$

$$DE^2=AD^2+AE^2=a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{5}{4}a^2.$$

Так как $$DE=1\ \text{см}$$, получаем

$$1^2=\frac{5}{4}a^2,\qquad a^2=\frac{4}{5},\qquad a=\frac{2}{\sqrt{5}}\ \text{см}.$$

Тогда

$$V=a^3=\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^3=\frac{8}{5\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{25}\ \text{см}^3.$$

Ответ

$$432\sqrt{2}\ \text{см}^3;\ 6\sqrt{6}\ \text{м}^3;\ \frac{8\sqrt{5}}{25}\ \text{см}^3.$$