Упр.439 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Конус с углом ф при вершине осевого сечения и радиусом основания r вписан в сферу радиуса R (т. e. вершина конуса лежит на сфере, а основание конуса является сечением сферы, рис. 173, б). Найдите: а) r, если известны R и ф; б) R, если известны r и ф; в) ф, если R = 2r.

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение конуса. Тогда $$AB=2r,$$ $$SA=SB,$$ а угол $$\angle ASB=\varphi.$$

Так как точки $$A$$ и $$B$$ лежат на сфере радиуса $$R$$ с центром $$O,$$ то $$OA=OB=R.$$ Кроме того, центральный угол, опирающийся на хорду $$AB,$$ равен удвоенному вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду, значит

$$\angle AOB=2\varphi.$$

Рассмотрим треугольник $$AOB$$ и применим теорему косинусов:

$$ AB^2=OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cos\angle AOB $$
$$ (2r)^2=R^2+R^2-2R^2\cos 2\varphi $$
$$ 4r^2=2R^2(1-\cos 2\varphi). $$

Используем формулу $$1-\cos 2\varphi=2\sin^2\varphi$$:

$$ 4r^2=4R^2\sin^2\varphi $$
$$ r=R\sin\varphi. $$

Отсюда:

$$ \text{а) } r=R\sin\varphi; $$

$$ \text{б) } R=\frac{r}{\sin\varphi}; $$

в) если $$R=2r,$$ то

$$ 2r=\frac{r}{\sin\varphi} $$
$$ \sin\varphi=\frac12 $$
$$ \varphi=30^\circ. $$