Упр.439 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Конус с углом $$\varphi$$ при вершине осевого сечения и радиусом основания $$r$$ вписан в сферу радиуса $$R$$ (т. е. вершина конуса лежит на сфере, а основание конуса является сечением сферы, рис. 173, б). Найдите: а) $$r$$, если известны $$R$$ и $$\varphi$$; б) $$R$$, если известны $$r$$ и $$\varphi$$; в) $$\varphi$$, если $$R=2r$$.
Рассмотрим осевое сечение конуса. Тогда $$AB=2r,$$ $$SA=SB,$$ $$\angle ASB=\varphi.$$
Так как точки $$A$$, $$B$$ и $$S$$ лежат на сфере, то центр сферы $$O$$ лежит на оси конуса, а угол $$\angle AOB$$ — центральный, опирающийся на хорду $$AB$$. Поэтому
$$\angle AOB=2\varphi.$$
В треугольнике $$AOB$$ по теореме косинусов:
$$AB^2=OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cos\angle AOB.$$
Так как $$OA=OB=R$$, получаем
$$(2r)^2=R^2+R^2-2R^2\cos 2\varphi,$$
то есть
$$4r^2=2R^2(1-\cos 2\varphi).$$
Используем формулу $$1-\cos 2\varphi=2\sin^2\varphi$$:
$$4r^2=4R^2\sin^2\varphi.$$
Следовательно,
$$r=R\sin\varphi.$$
Отсюда:
а) $$r=R\sin\varphi$$;
б) $$R=\dfrac{r}{\sin\varphi}$$;
в) если $$R=2r$$, то
$$2r=\frac{r}{\sin\varphi},$$
значит
$$\sin\varphi=\frac12,$$
откуда
$$\varphi=30^\circ.$$
Ответ: а) $$r=R\sin\varphi$$; б) $$R=\dfrac{r}{\sin\varphi}$$; в) $$30^\circ$$.
