Упр.438 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Цилиндр вписан в сферу (т. е. основания цилиндра являются сечениями сферы, рис. 173, а). Найдите отношение площади полной поверхности цилиндра к площади сферы, если высота цилиндра равна диаметру основания.

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Так как высота цилиндра равна диаметру основания, то осевое сечение — квадрат со стороной $$a$$, где $$a$$ — диаметр основания цилиндра.

Пусть радиус основания цилиндра равен $$r$$. Тогда $$a=2r$$, то есть $$r=\frac{a}{2}$$.

Цилиндр вписан в сферу, значит в осевом сечении диагональ квадрата равна диаметру сферы:

$$d=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$$

Следовательно, радиус сферы

$$R=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$

Найдём площади поверхностей.

Полная поверхность цилиндра:

$$S_{\text{цил}}=2\pi r h+2\pi r^2.$$

Так как $$h=a$$ и $$r=\frac{a}{2}$$, получаем

$$S_{\text{цил}}=2\pi\cdot \frac{a}{2}\cdot a+2\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2 =\pi a^2+\frac{\pi a^2}{2} =\frac{3\pi a^2}{2}.$$

Площадь сферы:

$$S_{\text{сф}}=4\pi R^2=4\pi\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2=4\pi\cdot \frac{a^2}{2}=2\pi a^2.$$