Упр.438 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Цилиндр вписан в сферу (т. e. основания цилиндра являются сечениями сферы, рис. 173, a). Найдите отношение площади полной поверхности цилиндра к площади сферы, если высота цилиндра равна диаметру основания.

Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Так как высота цилиндра равна диаметру его основания, то осевое сечение — квадрат со стороной $$a$$, где $$a$$ — диаметр основания цилиндра.

Пусть радиус сферы равен $$R$$. Тогда диагональ квадрата равна диаметру сферы:

$$BD=2R.$$

С другой стороны, для квадрата со стороной $$a$$:

$$BD=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$$

Следовательно,

$$2R=a\sqrt{2}, \qquad R=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$

Площадь сферы:

$$S_{\text{сф}}=4\pi R^2=4\pi\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2=2\pi a^2.$$

Радиус основания цилиндра равен

$$r=\frac{a}{2},$$

а его высота

$$h=a.$$

Тогда площадь полной поверхности цилиндра:

$$S_{\text{цил}}=2\pi r h+2\pi r^2.$$

Подставим значения:

$$S_{\text{цил}}=2\pi\cdot\frac{a}{2}\cdot a+2\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2=\pi a^2+\frac{\pi a^2}{2}=\frac{3\pi a^2}{2}.$$

Искомое отношение равно

$$\frac{S_{\text{цил}}}{S_{\text{сф}}}=\frac{\frac{3\pi a^2}{2}}{2\pi a^2}=\frac{3}{4}.$$

Ответ

$$\frac{3}{4}$$